1 . 用
表示由0和1组成的长度为
（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定
.试证明：
（1）
，
；
（2）
可被3整除，
.
表示由0和1组成的长度为（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定.试证明：（1）
，；（2）
可被3整除，.
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2 . 设
,令
,
，证明:对任何正整数n,有
.①
,令,，证明:对任何正整数n,有.①
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3 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
4 . 设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列
：
，
，其中，
表示不小于实数x的最小整数.证明对
，均有
.
：，，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.
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5 . 已知数列
满足
.
(1)证明:当n≥2时,
;
(2)当n≥4时,求
表示不超过实数x的最大整数).
满足.(1)证明:当n≥2时,
;(2)当n≥4时,求
表示不超过实数x的最大整数).
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2014高三·江苏·竞赛
6 . 证明：存在无穷多个正整数，使得
.
，使得.
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7 . 已知数列满足
, 
a2(k∈若对于所有的
,均有
,求k的取值范围
满足, a2(k∈若对于所有的,均有,求k的取值范围
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8 . 设数列定义为
，
求满足
的正整数r的个数．
定义为，求满足的正整数r的个数．
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