1 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如
，其中，
是某个正整数）．
，其中，是某个正整数）．
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2 . 设
为实数，
.证明：
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式
其中，
为正整数，满足
；
(2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在
，对所有的
，满足
为实数，.证明：(1)把
写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足；(2)
是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足
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3 . 将一枚棋子放在一个
的棋盘上，记
为从左、上数第
行第
列的小方格，求所有的四元数组
，使得从
出发，经过每个小方格恰一次到达
（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.
的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.
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4 . 已知数列
满足
，
．给定奇质数
和正整数满足
，证明：
的充分必要条件为
．
满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
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5 . 已知正整数数列
满足对任意的正整数
均有
，证明：存在无穷多个正整数对
（
），使得
．
满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．
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6 . 已知
，
.证明：
.
，.证明：.
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7 . 对给定的正整数
，定义
表示的各个数位上的数字之和的平方，当
且时，
表示
的各个数位上的数字之和的
次方，其中，当为奇数时，
；当为偶数时，
，试求
的值．
，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，，试求的值．
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8 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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9 . 将
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的
形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
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