1 . 是否存在正整数
，使得1，2，3，…，
能放在一个
方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论.
，使得1，2，3，…，能放在一个方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论.
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2 . 数列
的首项
，该数列是公比为
的等比数列.记
，
.
（1）证明：当
时，对一切
，都有
.
（2）当
时，是否存在自然数
，使得对任何自然数
，都有
？
的首项，该数列是公比为的等比数列.记，.（1）证明：当
时，对一切，都有.（2）当
时，是否存在自然数，使得对任何自然数，都有？
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3 . 设
，
，…，
是
个正数，把它们顺序放在圆周上，且满足每一个数去除相邻两数的和都是自然数，令
.证明：
.
，，…，是个正数，把它们顺序放在圆周上，且满足每一个数去除相邻两数的和都是自然数，令.证明：.
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4 . 设函数
且f(x)的最小值为0.
（1）求a的值；
（2）若数列
满足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，记Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超过实数m的最大整数，求Sn.
且f(x)的最小值为0.（1）求a的值；
（2）若数列
满足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，记Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超过实数m的最大整数，求Sn.
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5 . 对于正整数
、，定义
，其中
、
为非负整数，
，且
．求最大的正整数
，使得存在正整数
，对于任意的正整数
，都有
．证明你的结论．
、，定义，其中、为非负整数，，且．求最大的正整数，使得存在正整数，对于任意的正整数，都有．证明你的结论．
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6 . 已知数列
中，
，且当
时，
．试证：对的一切自然数有
．
中，，且当时，．试证：对的一切自然数有．
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7 . 用
表示由0和1组成的长度为（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定
.试证明：
（1）
，
；
（2）
可被3整除，
.
表示由0和1组成的长度为（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定.试证明：（1）
，；（2）
可被3整除，.
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8 . 对于自然数和，求证
是一个自然数的完全平方．
和，求证是一个自然数的完全平方．
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9 . 设
,令
,
，证明:对任何正整数n,有
.①
,令,，证明:对任何正整数n,有.①
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10 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
