2 . 设集合．是否存在集合A的非空子集，满足
（1）；
（2）都至少有4个元素；
（3）的所有元素的和等于的所有元素的乘积？证明你的结论．

3 . 设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S₁为包含集合最多的反链，S₂是任意反链.证明：存在S₂到S₁的单射f，满足或成立.

4 . 证明对所有的正整数，存在一个集合，满足如下条件：
（1）由都小于的个正整数组成；
（2）对的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．

5 . 对集合（），若对于任何的不能整除的任何一个非空子集的元素和，则称是“好集”（表示集合除去元素后的集合）．
（1）若是好集，求的最小值；
（2）证明：集合不是好集，其中，．

6 . 设是由正整数构成的集合．证明：对任何整数，都存在的子集，使（为集合元素的和），当且仅当对任何，都有（规定）．

7 . 给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集的元素个数的最小值：ⅰ.，；ⅱ.子集中的元素（除1外）均为中的另两个（可以相同）元素的和.
（1）求的值；
（2）证明：.

8 . 设.对所有不同的子集，有.证明：.

9 . 某工厂的位工人共提了条不同的合理化建议.经统计发现，每两个工人提的合理化建议中都至少有一条相同的建议，但没有两个工人所提合理化建议完全相同.证明: .

10 . 证明：存在由2014个正整数组成的整数S，具有下面性质：若集合S的子集A满足对任意，，均有，则.