1 . 设
为满足下列条件的函数
构成的集合：存在实数
，使得
．证明：
是中的元素．
为满足下列条件的函数构成的集合：存在实数，使得．证明：是中的元素．
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2 . 对于区间
与函数
，定义区间Ⅰ的长度为
．已知二次函数
对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有
，求证：对于任何长度为2的区间J，均有
．
与函数，定义区间Ⅰ的长度为．已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有．
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3 . 设函数
，其中，
，且
．
（1）当
时，若关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围；
（2）若
，证明：
．
，其中，，且．（1）当
时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）若
，证明：．
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4 . 证明：满足不等式
的实数x的集合E可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和.
的实数x的集合E可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和.
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2013高三·湖南·竞赛
5 . 已知函数
，且对任意的
均有
.
（1）求
的取值范围；
（2）若
，证明：
.
，且对任意的均有.（1）求
的取值范围；（2）若
，证明：.
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6 . 某厂第一天产品不超过件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过件，且设
，
.证明：当日产量达到
件时，工厂生产产品总数不少于
件.
件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过件，且设，.证明：当日产量达到件时，工厂生产产品总数不少于件.
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7 . 设实数a、b、c、d满足
.
证明：
.
.证明：
.
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8 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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9 . 求证：
且
.
且.
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