1 . 设
．若有四个互异数
、
、
、
，使
，就称
与
是集
的一个“平衡对”．则集合中平衡对的个数是______ ．
．若有四个互异数、、、，使，就称与是集的一个“平衡对”．则集合中平衡对的个数是
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2 . 对于集合
，若存在两个数列
满足(i) 
；(ii) 
，则称M为一个“友谊集”，称(A，B)为
的一种“友谊排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合
的一种友谊排列，记为
(1)证明：若为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；
(2)确定集合
及的全体友谊排列．
，若存在两个数列满足(i) ；(ii) ，则称M为一个“友谊集”，称(A，B)为的一种“友谊排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合的一种友谊排列，记为(1)证明：若
为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；(2)确定集合
及的全体友谊排列．
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3 . 将2010张红卡片和2010张白卡片任意分给2010名参加游戏的玩家，每人两张.所有人面朝里围坐成一圈.游戏规则是每次操作要求每名玩家同时履行下述原则：若其至少拥有一张红卡片，他就将一张红卡片交给他左侧相邻的玩家；若他没有红卡片，他就将一张白卡片交给他左侧相邻的玩家.求使得第一次出现每名玩家手中都恰有一张红卡片和一张白卡片的操作次数的最大值.
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4 . 在圆周上依次有
个点
，今随机地选取其中
个点为顶点作凸边形
，已知选取与否的可能性是相同的，试求对每个
，边形的两个相邻顶点
（规定
）之间至少有
中的
个点的概率，其中，
是给定的一组正整数.
个点，今随机地选取其中个点为顶点作凸边形，已知选取与否的可能性是相同的，试求对每个，边形的两个相邻顶点（规定）之间至少有中的个点的概率，其中，是给定的一组正整数.
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2010高三·湖北·竞赛
5 . 将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58，则所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为__________ .
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名校
6 . 有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每一个匣内放入一把钥匙，然后把匣子全都锁上．现在允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有______ 种．
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2018-12-19更新
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238次组卷
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3卷引用：数学奥林匹克高中训练题_28
7 . 将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法.
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8 . 12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周____ 周.
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9 . 圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为______ .
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10 . 两枚红色棋子、两枚白色棋子、两枚绿色棋子摆成一圈.则不同的摆法有种.
| A．15 | B．18 | C．24 | D．90 |
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