1 . 如图，
内接于
，
是的内心，过
作
的垂线交于点
，交
于点
，
是
的中点，连接
，过
作
于点
.证明：
(1)
；
(2)、、、四点共圆.
内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：(1)
；(2)
、、、四点共圆.
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2 . 如图，在等腰中，
，I为内心，M为
的中点，P为边
上一点，满足
，
延长线上一点H满足
，Q为的外接圆上劣弧
的中点．证明：
．
中，，I为内心，M为的中点，P为边上一点，满足，延长线上一点H满足，Q为的外接圆上劣弧的中点．证明：．
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3 . 已知正
的外接圆为，
是弧
上一点，直线与
交于点，直线与
交于点，
，
分别为
、
的中点，
与
、
分别交于点
、
，为的中点.证明：
（1）
；
（2）
是正三角形.
的外接圆为，是弧上一点，直线与交于点，直线与交于点，，分别为、的中点，与、分别交于点、，为的中点.证明：（1）
；（2）
是正三角形.
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4 . 如图，已知
)的内心为，
相对的旁切圆圆心为，的中点为，
与交于点.证明：
.
)的内心为，相对的旁切圆圆心为，的中点为，与交于点.证明：.
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5 . 如图，设
分别是外接圆劣弧
的中点，过点
作
与外接圆交于点，为的内心，直线与外接圆交于点
，分别过
作圆的切线交于点
.证明：
三点共线.
分别是外接圆劣弧的中点，过点作与外接圆交于点，为的内心，直线与外接圆交于点，分别过作圆的切线交于点.证明：三点共线.
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6 . 已知半径为
的
与半径
的内切于，内接于，且、分别与相切于、、
与
的交点为，求证：为的内心．
的与半径的内切于，内接于，且、分别与相切于、、与的交点为，求证：为的内心．
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2009高三·辽宁·竞赛
7 . 如图，在中，
，
是其外接圆的切线，为上的点，且
．求证：直线过的内心．
中，，是其外接圆的切线，为上的点，且．求证：直线过的内心．
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8 . 如图，点在内，且
，连结并延长交于点.设
，且
.求证：为的内心.
在内，且，连结并延长交于点.设，且.求证：为的内心.
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9 . 如图，的内心为，、、分别是边、
、的中点，证明：直线
平分
的周长．
的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长．
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10 . 已知是的内心，是三角形内一点，满足
，求证：
，当且仅当点与重合时，上式等号成立．
是的内心，是三角形内一点，满足，求证：，当且仅当点与重合时，上式等号成立．
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