名校
1 . 欧拉(1707-1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的取作就得到了欧拉恒等式,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数,圆周率,两个单位——虚数单位和自然数单位,以及被称为人类伟大发现之一的,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:,解决以下问题:
(1)将复数表示成(,为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值;
(3)若,则,这里,称为的一个次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得,复数,,求的值.
(1)将复数表示成(,为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值;
(3)若,则,这里,称为的一个次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得,复数,,求的值.
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2 . 复数除了代数形式之外,还有两种形式,分别是三角形式和指数形式,著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算,我们可以定义旋转变换.根据,我们定义:在直角坐标系内,将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换.设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为,且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此,比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线:.
(1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标;
(2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程;
(3)等边中,在曲线上,求的面积.
(1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标;
(2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程;
(3)等边中,在曲线上,求的面积.
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