1 . 记“Σ”表示轮换对称和．若a、b、c为给定的互不相同的实数，则
经化简后得__________ .
经化简后得
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2 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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392次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
3 . 若12个互不相同的正整数之和为2016，则这些正整数的最大公约数的最大值为__________ .
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4 . 如图，
、
、
为
的外接圆
上的点，满足
，P为上的任意一点.若直线
与BC、
与AC、
与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
、、为的外接圆上的点，满足，P为上的任意一点.若直线与BC、与AC、与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
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5 . 设椭圆
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若焦点到椭圆上的点的最短距离为
，则
=________ .
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若焦点到椭圆上的点的最短距离为，则=
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6 . 若集合
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
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2014高三·山西·竞赛
7 . 数列
、
满足条件
，
，
.
证明：对每个正整数
，均有（1）
，
；（2）
.
、满足条件，，.证明：对每个正整数
，均有（1），；（2）.
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2011高三·山西·竞赛
8 . 
三个内角的度数满足
.求
的值.
三个内角的度数满足.求的值.
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2010高三·山西·竞赛
9 . 如图，
是正
的中心，
是其所在平面上的任意一点，以
为直径的圆分别与直线
交于点
．证明：
．
是正的中心，是其所在平面上的任意一点，以为直径的圆分别与直线交于点．证明：．
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，约定
．证明：
