名校
解题方法
1 . 
中，角
所对的边分别为
，记的面积为
．
（1）当
时，
______ ；
（2）
的最大值为______ ．
中，角所对的边分别为，记的面积为．（1）当
时，（2）
的最大值为
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2 . 已知
、
满足
.
(1)求
.
(2)若、分别是方程
的两根，求
.
、满足.(1)求
.(2)若
、分别是方程的两根，求.
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解题方法
3 . 若定义在
上不恒为0的
，
，且
，则下列说法中，正确的有（ ）
上不恒为0的，，且，则下列说法中，正确的有（ ）A．可以是 |
B．若 时， ，则在 上单调递增 |
C．任意满足题意的函数 ，设定义在 （ 是整数）的 ，则 使得 |
D． |
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4 . 在矩形
中，
，
，E在
上，F在
上，
，则当
取得最小值时，
的值为__________ .
中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为
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5 . 在四边形中，
，
，平分
，
为
上一点，且
，
于点F，G为上一点，且
，连接
，则下面说法不正确的有（ ）
中，，，平分，为上一点，且，于点F，G为上一点，且，连接，则下面说法不正确的有（ ）A． | B．不垂直于 |
C． 平分 | D． |
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6 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知抛物线
：
.
在
：
上，记G的几何中心为点
，则当
取得最大值时，求点的坐标.
(2)已知动点、
在C上，分别过、作抛物线的切线
、
，设和相交于点T，若点T恒在直线
：
上，求证：直线
经过定点.
(3)将绕原点顺时针旋转90°得到
，给定点
，上有四点、、
、
，满足
，
、
均三点共线，且、都在x轴上方，设线段
和
的中点分别为T、S，试判断：直线
是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
中，已知抛物线：.
在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.(2)已知动点
、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.(3)将
绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
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7 . 已知函数
和
，则下列说法正确的有（ ）
和，则下列说法正确的有（ ）A．若 有两个相同的实数根，则函数 经过一二四象限 |
B．的图象和一个以 为圆心，1为半径的圆没有交点 |
C．可以在 时取到最小值 |
D．若 有两个不同零点，设这两个零点分别为 、 （在的左边）在 时，若的最小值等于，则 是不可能成立的 |
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2024-08-07更新
|
153次组卷
|
2卷引用：2024年第四届英才杯数学竞赛试题
解题方法
8 . 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设
是直线上互异且非无穷远的四点，称
（分式中各项均为有向线段，如
）为的交比，记为
．
(1)求证：
；
(2)若
为平面上过且互异的四条直线，
为不过点且互异的两条直线，
与的交点分别为
，
与的交点分别为
，证明：
.
是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为．(1)求证：
；(2)若
为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：.
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解题方法
9 . 已知函数
，若
，使关于
的不等式
成立，则实数
的取值范围是______ ．
，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是
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10 . 点在圆
上，若
，
，则
的最大值为______ .
在圆上，若，，则的最大值为
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