1 . 已知函数，试求的表达式，并猜一猜（）的表达式.

3 . （1）证明：.
（2）由（1）能想象出更一般的结论吗？试证明你的结论.

4 . 观察下列各式：
①；
②；
③；
④；
根据以上规律可得________．

5 . 设表示为不超过的最大整数，例如则___________.

6 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

7 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数∶
①；
②；
③；
④；
⑤．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式____，并证明你的结论．

8 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2020项小石子数是（       ）

A．5×1010×2021

B．5×1010×2019

C．5×1011×2019

D．5×1011×2021

9 . 如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是

A．21

B．34

C．55

D．89

10 . 设、，．
（1）用分析法证明：；
（2）探索猜想，并将结果填写在括号内：（       ），（       ）；
（3）由（1）、（2）归纳出更一般的结论（不必证明）．