2 . 中国第一台高能同步辐射光源（HEPS）将在2024年辐射出第一束最强“中国光”，HEPS工作原理可简化为先后用直线加速器与电子感应加速器对电子加速，如图甲所示，直线加速器由多个金属圆筒（分别标有奇偶序号）依次排列，圆筒分别和电压为U₀的交变电源两极相连，电子在金属圆筒内作匀速直线运动。一个质量为m、电荷量为e的电子在直线加速器0极处静止释放，经n次加速后注入图乙所示的电子感应加速器的真空室中，图乙中磁极在半径为R的圆形区域内产生磁感应强度大小为B₁=kt（k>0）的变化磁场，该变化磁场在环形的真空室中激发环形感生电场，使电子再次加速，真空室内存在另一个变化的磁场B₂“约束”电子在真空室内做半径近似为R的圆周运动，已知感生电场大小为（不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间），求：
（1）电子经第一次加速后射入1号圆筒的速率；
（2）电子在感应加速器中加速第一周过程中动能的增加量，并计算电子运动第一周所用的时间；
（3）真空室内磁场的磁感应强度B₂随时间的变化表达式（从电子刚射入感应加速器时开始计时）。

3 . 实验室有一装置可用于探究原子核的性质，该装置的主要原理可简化为：空间中有一直角坐标系Oxyz，在紧贴（-0.2m，0，0）的下侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v₀=1×10⁶m/s的速度持续发射比荷为C/kg的某种原子核。在x<0，y<0的空间中沿-y方向的匀强电场V/m。在x>0的空间有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B₁=0.2T。忽略原子核间的相互作用，xOy平面图如图甲所示。
（1）求原子核第一次穿过y轴时的速度大小；
（2）若原子核进入磁场后，经过瞬间分裂成a、b两个新核。两新核的质量之比为；电荷量之比为；速度大小之比为，方向仍沿原运动方向。求：a粒子第1次经过y轴时的位置
（3）若电场E可在1×10⁵V/m～×10⁵V/m之间进行调节（不考虑电场变化而产生的磁场）。在xOz平面内x<0区域放置一足够大的吸收屏，屏上方施加有沿-y方向大小为的匀强磁场，如图乙所示。原子核打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度。

4 . 如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源可以沿纸面内与SO₁（O₁为圆形磁场的圆心）的夹角为的方向内均匀地发射速度为v₀=10m/s、电荷量均为q=-2.0×10^-4C、质量均为m=1.0×10^-6kg的粒子，粒子射入半径为R=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0×10⁵个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO₁射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L在范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中点与O₁始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、场强E=0.625N/C，边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T，磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kV，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B₀；
（2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N₀；
（3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻力f与其速度v关系为（k=0.2N·s·m^-1），求粒子在样品中可达的深度d；
（4）曲线OA的方程。

7 . 离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为和的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心为坐标原点，沿圆筒轴线向右为轴正方向建立坐标。在和处，垂直于轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿轴正向、大小为的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿轴正方向、大小为的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿轴方向单位长度的离子数），其中为常量，氙离子质量为，电子质量为，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。

（1）在处的一个氙原子被电离，求其从右侧栅极射出时的动能；

（2）要使电子不碰到外筒壁，求电子沿径向发射的最大初速度；

（3）若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式，并画出的图线；

（4）求推进器所受的推力。