1 . 质量为M，半径为R的半球静止地放置在光滑水平地面上，其表面也是光滑的。半球顶端放有一质量为m的小滑块（可视为质点），开始时两物体均处于静止状态。小滑块在外界的微小扰动下从静止开始自由下滑，小滑块的位置用其和球心连线与竖直方向夹角表示。已知重力加速度为g。
（1）若半球在外力作用下始终保持静止，求当半球对小滑块支持力等于滑块重力一半时对应角度的余弦值；
（2）若半球可在水平面内自由滑动，现发现小物块脱离半球时对应角度为，已知cos37°=0.8，sin37°=0.6，试求：
①半球与小滑块质量之比；
②如下图所示，当运动时间无限小时，曲线运动可以看成圆周运动，对应圆称为曲率圆，其半径称为曲率半径，即把整条曲线用一系列不同曲率半径的小圆弧替代。求小滑块的运动轨迹曲线在其脱离半球时对应点的曲率半径（答案可用分数表示）。

2 . 如图所示，一虚线将坐标系分为上下两部分，虚线交y轴于P点、交x轴于Q点，。虚线上方区域为垂直指向左下方的匀强电场，电场强度大小为E；下方区域为垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度未知。一带电荷量为、质量为m的粒子从P点以沿x轴正方向抛出，不计重力，此后运动过程中其轨迹与虚线边界的第一个交点为M、第二个交点为N（M、N两点未画出）。
（1）求从P点运动至M点的过程中，粒子离虚线边界的最远距离；
（2）若，求磁感应强度的大小；
（3）若且，求粒子被抛出后到达x轴所用的时间。

3 . 如图甲所示的坐标系中区域有沿y轴负向的匀强电场，电场强度，区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间的变化关系如图乙所示，当垂直纸面向里时磁感应强度为正，图中，有足够大的荧光屏垂直于x轴放置并可沿x轴水平移动。现有一带电粒子质量，电量的带电粒子从电场的P点（已知P点y轴坐标为0.3m），沿平行x轴以某一初速度进入电场，恰好从坐标原点与x轴成60°进入磁场，取带电粒子进入磁场为时刻，不计粒子重力，答案可用根号表示，求：
（1）带电粒子的初速度；
（2）若要完整研究带电粒子在磁场中的运动轨迹，磁场沿y轴方向的最小区间的上限坐标和下限坐标；
（3）若要带电粒子垂直打在荧光屏上，荧光屏所在位置的x轴的可能坐标值。

4 . 如图乙所示，半径为R、圆心角为60°的光滑圆弧轨道，下端与水平面相连，一质量为m的小球从圆弧顶点静止释放。在足够长水平面上有一质量为M（）的滑块静止于水平面，滑块与水平面有摩擦，小球在水平面上的运动如图甲虚线所示，运动过程忽略小球与轨道摩擦，小球与滑块发生碰撞，假设小球与滑块的碰撞均为弹性碰撞，测得小球与滑块发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是d，求：
（1）滑块与水平面间的动摩擦因数；
（2）小球第一次与滑块碰撞到第二次碰撞的时间；
（3）滑块在水平面上通过的总路程。

5 . 小新的家乡有很多风车磨坊，他发现风太大时，由风车带动的磨盘转速过快，容易造成磨盘的损坏，为解决这个问题，他设计了如图所示的装置用于控制磨盘转速。左边的轴由风车带动旋转，轴上端一工件固定在轴上随轴转动。轴上套着一个可以沿轴上下滑动的质量为M的塔轮，塔轮与轴之间的摩擦力不计。塔轮和上方工件以及两个质量的小球由四根长为L的轻杆通过铰链连接，上方工件上的两个铰链与塔轮上的两个铰链之间的距离都为。塔轮与上方工件之间有一个原长为，劲度系数为的轻质弹簧。随着风车转速的增加，塔轮会向上移动，换挡器将皮带换到下方半径更小的轮上，从而减小磨盘的转速。皮带对塔轮的作用力的竖直分量忽略不计，重力加速度为g。塔轮的每一层厚度均为0.04L，且塔轮层数足够多（，）。
（1）在装好上方工件及两个小球后，小新打算先检验一下这些部分能否正常工作，转动装置，当轻杆与竖直方向成37°夹角时，求转动的角速度大小；
（2）全部安装完成后，风车转动时弹簧恰好处于原长，求此时风车转动的角速度为多大；
（3）弹簧处于原长时，塔轮的某一层正好与右边的轮平齐；当左边轴的角速度增大为时，正好向下换挡10次且塔轮的对应层与右边的轮平齐，则为多大？

6 . 如图，在第一象限内有垂直该平面的匀强磁场，以虚线为界，左侧磁场垂直于该平面向里，右侧磁场垂直于该平面内向外。第四象限内互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直向里。所有磁场的磁感应强度相等，一质量为m，电量为＋q的带正电粒子从O沿＋x方向紧邻第一象限射入，粒子入射速度大小在中的所有数值，其中速度为的粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为，总时间为。（T为做完整圆周运动的周期）
（1）求磁感应强度的大小；
（2）从第一象限射到y轴最远的粒子的速度大小；
（3）场强（B为上述所求的值），求粒子在第四象限内运动离x轴的最大距离的动能。

7 . 如图所示，两个完全相同的正方形金属细线框M、N，置于光滑的绝缘水平桌面上。在线框M右侧宽度为l的区域内，存在方向垂直于桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时线框M、N并排靠在一起，彼此绝缘且不粘连，其左、右边框与磁场边界平行，每个线框的边长、质量、电阻分别为l、m、R。
（1）用水平推力作用在线框N上，让M、N一起以速度沿垂直于磁场边界的方向匀速穿过磁场区域，求整个过程中水平推力的最大值；
（2）不加推力，让M、N一起以大小为的初速度沿垂直于磁场边界的方向自由滑行，线框N恰好能穿过磁场区域。求：
（i）线框M完全离开磁场时的速度与初速度的比值；
（ii）整个过程中线框M产生的热量与N产生的热量的比值。

8 . 如图所示，三个小滑块（看成质点）静止排列在水平面上，建立x轴，滑块a位于原点，其与滑块b间的部分水平面光滑，其余水平面粗糙，相邻滑块间距，，三个滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数都为，取重力加速度大小，现给滑块a一水平向右、大小为的初速度v，滑块间所有碰撞都是弹性碰撞。
（1）求滑块a与滑块c碰后瞬间的速度；
（2）通过计算判断滑块a与滑块c会不会发生二次相碰；
（3）求三个滑块最终停在x轴上的位置。

9 . 超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量为m=15kg，g=10m/s^2.
（1）首先测车与超市地面间的动摩擦因数：取一辆车停在水平地面上，现给它向前的水平初速度v₀=2m/s，测得该车能沿直线滑行x₀=2m，求车与超市地面间的动摩擦因数μ；
（2）取编号为A、B的车，B车装上m₀=15kg的货物后停在超市水平地面上，空车A的前端装上轻弹簧，将A车停在B车的正后方且相距x=5.5m处。现给A车施加向前的水平推力F₀=75N，作用时间t₀=1s后撤除。设A车与B车间的碰撞为弹性正碰（忽略相互作用时间），两车所在直线上没有其他车，求在A车运动的全过程中A车与地面间产生的摩擦热；
（3）如图乙所示，某同学把n（n>2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距为d=1m，用向前的水平恒力F=300N一直作用在1车上，推着1与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？[已知，]

10 . 某粒子分析装置的部分简化结构如图所示，主要由粒子源、圆柱形磁场区和6面是荧光屏的长方体仪器OABC-DEFG构成，粒子打在屏上会被吸收。以长方体仪器的顶点O为坐标原点，建立三维坐标系O-xyz。长方体仪器的长AB、宽AO、高AD分别为2a、2a、a，长方体所在空间存在方向沿x轴正向的匀强磁场Ⅰ（图中未画出）。圆柱形区域的长为2a，底面圆半径为R，圆柱形位于长方体仪器的正上方，两者通过长方体正上方狭缝PQ连通，P为DE的中点，Q为GF的中点，圆柱形区域所在空间存在方向沿x轴正向的匀强磁场Ⅱ（图中未画出），在xoz平面有一与圆柱体等高等长的长方形粒子源，能沿着y轴正方向发射速率均为v的正电粒子，所有进入圆柱体空间的粒子都恰能通过狭缝PQ再进入长方体仪器，恰好没有粒子打到BCFE面。已知带电粒子的比荷为k，不计粒子重力及粒子间相互作用，试求：
（1）匀强磁场Ⅰ磁感应强度的大小；
（2）打在顶面DEFG粒子数目和打在底面OABC的粒子数目之比；
（3）若仅将匀强磁场Ⅰ的方向调整为沿y轴正方向，大小不变，且其他条件不变，对于从Q点入射的粒子，能打到长方体仪器BCFE面上的粒子最长运动时间以及能打在BCFE面上的粒子数目与Q点入射的粒子总数N之比。（已知，则的大小可表示为）