2 . 球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求：
（1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围；
（2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。
       （可利用不等式：设均为正数，则
                           
等号当且仅当时成立。）

3 . 东方超环，俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束中剥离出来。假设“偏转系统”的原理如图所示，均匀分布的混合粒子束先以相同的速度通过加有电压的两极板间，再进入偏转磁场Ⅱ中，中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；未被中性化的带电粒子一部分打到下极板被吸收后不可再被利用，剩下的进入磁场Ⅱ后发生偏转，被吞噬板吞噬后可以再利用。 已知粒子带正电、电荷量为q，质量为m，两极板间电压U可以调节，间距为d，极板长度为，吞噬板长度为2d，极板间施加一垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B₁，带电粒子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。
（1）当电压 U=0 时，恰好没有粒子进入磁场Ⅱ，求混合粒子束进入极板间的初速度v₀等于多少？若要使所有的粒子都进入磁场Ⅱ，则板间电压 U₀为多少？
（2）若所加的电压在U₀~（1+k）U₀内小幅波动，k>0 且k≪1，此时带电粒子在极板间的运动可以近似看成类平抛运动。则进入磁场Ⅱ的带电粒子数目占总带电粒子数目的比例至少多少？
（3）在（2）的条件下，若电压小幅波动是随时间线性变化的，规律如图乙所示，变化周期为T，偏转磁场边界足够大。要求所有进入磁场Ⅱ的粒子最终全部被吞噬板吞噬，求偏转磁场Ⅱ的磁感应强度B₂满足的条件？已知粒子束单位时间有N个粒子进入两极板间，中性化的转化效率为50%，磁场Ⅱ磁感应强度B₂取最大情况下，取下极板右端点为坐标原点， 以向下为正方向建立x坐标，如甲图所示，求一个周期T内吞噬板上不同位置处吞噬到的粒子数密度λ（单位长度的粒子数）。

5 . 小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。长的斜轨道倾角为，斜轨道底端平滑连接长的水平轨道，水平轨道左端与半径的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量的滑块（可不计大小）从斜轨道顶端释放，滑块与斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数均为。已知。
（1）当时，无初速释放滑块，求滑块到达B点时对半圆轨道压的大小；
（2）当时，为保证滑块能到达半圆轨道顶点A，应至少以多大速度释放滑块？
（3）为保证滑块离开半圆轨道顶点A后恰好能垂直撞击斜轨道，求α的范围。

6 . 交通信号“绿波”控制系统一般被称为“绿波带”，它是根据车辆运行情况对各路口红绿灯进行协调，使车辆通过时能连续获得一路绿灯。在九江一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L₁、L₂和L₃，L₂与L₁相距800m，L₃与L₂相距400m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间间隔都是40s。L₁与L₃同时显示绿色，L₂则在L₁显示红色经历了10s时开始显示绿色。规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s。则有（　　）

A．若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏绿色信号灯的最大速率24m/s

B．若有一辆速率10m/s匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能连续获得一路绿灯

C．若有一辆速率20m/s匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则此汽车能连续获得一路绿灯

D．若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏绿灯的最小速率是

8 . 一带电小滑块放在倾角为的斜面上，滑块与斜面之间的动摩擦因数为，若在空间中施加竖直向上的匀强电场，则小滑块保持静止且恰好与斜面间无摩擦．现除去竖直电场，将间距为的带电金属板A、B垂直固定在绝缘斜面上，如图所示。A板在斜面处开有小孔，可使小物块通过，板间形成斜向上的匀强电场，场强为原竖直场强的两倍，A板接地（电势为零），现让小物块从A板小孔位置以一定的初速度沿斜面向下运动，若小物块与金属板B发生碰撞，碰撞中能量不损失（即碰后瞬间速度大小不变）。设小物块大小不计且不影响金属板间电场的分布（g取）。求：
（1）带电小物块以多大的初速度进入电场，才能恰好到达金属板B?
（2）若带电小物块以初速度进入电场，当其动能等于电势能时，距离A板多远?
（3）小物块至少以多大的初速度进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点?
   

9 . 如图所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上。箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦。开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度从箱子的A壁处向B壁处运动，后与B壁碰撞。假定滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，。
（1）要使滑块与箱子这一系统损耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？
（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？