2 . 如图， OAC为正三棱柱框架在xOy平面的一个截面， OA与x轴正方向夹角为30°．OA上方空间存在沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场，框架内存在垂直OAC平面向外的匀强磁场．y轴上P点的离子源，每隔相同时间，以速度v₀沿x轴正方向射出质量为m，电荷量为q的正离子，不考虑离子间的相互作用，离子恰好从OA正中间的小孔Q垂直于OA射入框架．若离子每次与框架内壁碰撞后等速率反弹，碰撞时间忽略不计，经过数次碰撞后又恰好从小孔Q沿与OA垂直方向射出框架，离子电荷量始终不变且离子的重力不计．已知第一个离子刚从Q处射入框架时，第二个离子恰好从P处射出，框架内磁感应强度大小不超过．

(1)求OQ间的距离；
(2)求匀强磁场磁感应强度的大小；
(3)第一个离子从框架射出前框架内最多可能有多少个离子．

3 . 球磨机利用旋转圆筒驱动锰钢球对矿石颗粒进行冲击和剥磨。如图，某球磨机圆筒半径为，绕其（水平）对称轴匀速旋转。球磨机内装有矿石颗粒和一个质量为m的锰钢小球，钢球与筒壁之间摩擦系数足够大。若圆筒转速较低，球磨机内的钢球达到一定高度后会因为其本身的重量沿圆筒内壁滑滚下落（被称为处于泻落状态），此时矿石被钢球剥磨；若圆筒旋转的角速度超过某临界值，钢球随着圆筒旋转而不下落（被称为处于离心状态），球磨机研磨作用停止；若圆筒的角速度介于上述两情形之间，钢球沿圆筒内壁上升至某一点后会脱离圆筒落下（被称为处于抛落状态）冲击筒中的矿石粉，此时矿石被冲磨。重力加速度大小为g，求：
（1）能使球磨机正常工作的圆筒转动角速度的范围；
（2）能使钢球对矿石的冲击作用最大时的圆筒转动角速度以及钢球对矿石的最大冲击功。
       （可利用不等式：设均为正数，则
                           
等号当且仅当时成立。）

5 . 东方超环，俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束中剥离出来。假设“偏转系统”的原理如图所示，均匀分布的混合粒子束先以相同的速度通过加有电压的两极板间，再进入偏转磁场Ⅱ中，中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；未被中性化的带电粒子一部分打到下极板被吸收后不可再被利用，剩下的进入磁场Ⅱ后发生偏转，被吞噬板吞噬后可以再利用。 已知粒子带正电、电荷量为q，质量为m，两极板间电压U可以调节，间距为d，极板长度为，吞噬板长度为2d，极板间施加一垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B₁，带电粒子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。
（1）当电压 U=0 时，恰好没有粒子进入磁场Ⅱ，求混合粒子束进入极板间的初速度v₀等于多少？若要使所有的粒子都进入磁场Ⅱ，则板间电压 U₀为多少？
（2）若所加的电压在U₀~（1+k）U₀内小幅波动，k>0 且k≪1，此时带电粒子在极板间的运动可以近似看成类平抛运动。则进入磁场Ⅱ的带电粒子数目占总带电粒子数目的比例至少多少？
（3）在（2）的条件下，若电压小幅波动是随时间线性变化的，规律如图乙所示，变化周期为T，偏转磁场边界足够大。要求所有进入磁场Ⅱ的粒子最终全部被吞噬板吞噬，求偏转磁场Ⅱ的磁感应强度B₂满足的条件？已知粒子束单位时间有N个粒子进入两极板间，中性化的转化效率为50%，磁场Ⅱ磁感应强度B₂取最大情况下，取下极板右端点为坐标原点， 以向下为正方向建立x坐标，如甲图所示，求一个周期T内吞噬板上不同位置处吞噬到的粒子数密度λ（单位长度的粒子数）。

7 . 图甲为某大厅自动感应门，门框上沿中央安装有传感器。图乙为感应门的俯视图，A为传感器的位置，半径为L的虚线圆是传感器的感应范围，当人或物进入感应范围内时中间两扇门分别向左右平移开启。已知每扇门的宽度为d，若门开启时先由静止开始做匀加速运动，达到最大速度v₀后立即做匀减速运动，且匀加速运动和匀减速运动的加速度大小相等，每扇门完全开启时速度刚好为零，移动的总位移刚好为d，不计门及门框的厚度。
（1）求门开启时做匀加速运动的加速度大小和门从停止到完全开启所需要的时间:
（2）若人沿图中虚线s匀速走向感应门，进入感应范围时门立即开启，人到达门框时每扇门运动距离为，则该人匀速运动的速度v大小为多少;
（3）若人推着宽度为1.75d的小车仍以速度v（和第二问中速度大小一样）匀速走向感应门，运动中小车中心始终沿虚线s（如图丙所示），小车进入感应范围时门立即开启，为使小车能安全通过感应门，感应门的最大移动速度至少应调整为多大？（仍保证门开启时先做匀加速运动达到最大速度后立即以等大的加速度做匀减速运动，每扇门完全开启时的速度刚好为零）。
   

9 . 小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。长的斜轨道倾角为，斜轨道底端平滑连接长的水平轨道，水平轨道左端与半径的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量的滑块（可不计大小）从斜轨道顶端释放，滑块与斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数均为。已知。
（1）当时，无初速释放滑块，求滑块到达B点时对半圆轨道压的大小；
（2）当时，为保证滑块能到达半圆轨道顶点A，应至少以多大速度释放滑块？
（3）为保证滑块离开半圆轨道顶点A后恰好能垂直撞击斜轨道，求α的范围。

10 . 如图所示，在xoy平面内的区域存在大小为0.2T、方向垂直平面向外的匀强磁场。坐标原点O处有一粒子源，在平面内向y≥0范围的各个方向均匀发射带正电的同种粒子，其速度大小v₀=2×10⁴m/s。在x₀=0.4m处放置垂直x轴，长度为L=0.4m、厚度不计的探测板P（粒子一旦打在探测板P上，其速度立即变为零）。已知粒子源沿x轴负方向射出的粒子恰好打在金属板P的最上端，且速度方向与y轴平行，不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力：（要求写出必要的文字说明或画出示意图）
(1)求粒子的比荷；
(2)求被探测板P接收到的粒子中，打到P板左侧粒子数n₁与打到P板右侧的粒子数n₂之比；
(3)若某时刻粒子源沿x轴负方向射出一束速度不等的粒子，其速度大小从0到v_m=3×10⁴m/s，求至少经多长时间开始有粒子到达收集板，并写出此时该束粒子所包含的各粒子在平面内构成的图线方程。