1 . 某兴趣小组对老师演示惯性的一个实验进行了深入的研究。如图甲所示，长方形硬纸板放在水平桌面上，纸板一端稍稍伸出桌外，将一块橡皮擦置于纸板的中间，用手指将纸板水平弹出，如果弹的力度合适，橡皮擦将脱离纸板，已知橡皮擦可视为质点，质量为，硬纸板的质量为，长度为。橡皮擦与纸板、桌面间的动摩擦因数均为，纸板与桌面间的动摩擦因数为，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。
（1）手指对纸板的作用力与时间的关系如图乙所示，要使橡皮擦相对纸板滑动，至少多大？
（2）手指对纸板的作用时间很短，可认为作用结束后，纸板获得速度但位移近似为零，则要使橡皮擦脱离纸板，需满足的条件？
（3）若要求橡皮擦移动的时间不超过，求纸板被弹出的最小速度？

2 . 图甲所示的竖直平面内，竖直金属薄板M、N足够长且平行正对，M板为电子发射装置，可向各个方向持续发射出速率介于0到最大值v。（v未知）之间的电子，两板间电压大小为U，正负变化周期为T（如图乙所示），电子在M、N间运动的时间远小于T且内的N板中央小孔O₁恰好始终没有电子射出。N板、竖直屏和竖直虚线CH相邻间距相等，仅、GH间分布着方向竖直向上的匀强电场、大小为，屏上有两个关闭的小阀门a、b，a、b位置与O₁共线、与水平方向夹角，0时刻打开阀门a、b，T时刻恰好有电子穿过阀门a，时刻关闭阀门a，1.52T时刻关闭阀门b。已知电子质量m、电量大小e，不考虑电子之间的碰撞及相互作用，忽略金属板的边缘效应，，求：
（1）电子经O₁射出的最大速率；
（2）屏K₁上不同位置P（始终在连线上方）、，则电子落在P处的速率及范围；
（3）电子通过虚线的最大动能（小数点后保留两位有效位数）
   

3 . 1899年，苏联物理学家列别捷夫首先从实验上证实了“光射到物体表面上时会产生压力”，和大量气体分子与器壁的频繁碰撞类似，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”。某同学设计了如图所示的探测器，利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，以使太阳光对太阳帆的压力超过太阳对探测器的引力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外。假设质量为m的探测器正朝远离太阳的方向运动，帆面的面积为S，且始终与太阳光垂直，探测器到太阳中心的距离为r，不考虑行星对探测器的引力。已知：单位时间内从太阳单位面积辐射的电磁波的总能量与太阳绝对温度的四次方成正比，即，其中T为太阳表面的温度，为常量。引力常量为G，太阳的质量为M，太阳的半径为R，光子的动量，光速为c。下列说法正确的是（　　）

A．常量的单位为

B．t时间内探测器在r处太阳帆受到太阳辐射的能量

C．若照射到太阳帆上的光一半被太阳帆吸收一半被反射，探测器太阳帆的面积S至少为

D．若照射到太阳帆上的光全部被太阳帆吸收，探测器在r处太阳帆受到的太阳光对光帆的压力

4 . 如下图甲所示为某质谱仪核心部件结构图。半径为R的圆内有垂直纸面向外大小为B的匀强磁场，圆心为O，为竖直方向的轴线，O点右侧S处有一粒子源（）可以向圆形磁场内均匀向各个方向以相同大小的速度，发出质量为m，电量为q的带正电的粒子，圆形磁场上方有关于轴线对称放置的两块平行金属板，两金属板之间的距离为1.6R，长为2R，两平行板间加如图乙所示的匀强电场，其中，平行金属板上方有垂直于纸面向内范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度也为，磁场下边缘处有一可左右平移的探测板PQ。从S点正对圆心O射出的粒子，恰好沿轴线进入电场中。不计离子之间的相互作用，不计重力，电场变化的周期远大于带电粒子在磁场中运动的时间。（取，）求：
（1）进入圆形磁场中的粒子的速度大小；
（2）电容器不加电压时，能从电容器中穿出的粒子占总粒子数的比；
（3）两极板MN之间加上如图乙所示的电压，要使接收板能接收到所有从平行板电容器中射出的粒子，则板的长度至少多长；
（4）当时，若接收板可以上下左右平移，要使接收板能接挡住所有从平行板电容器中射出的粒子，则板的长度至少为多长。
   

5 . 黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量、角动量和电荷完全决定．对于一个、质量为的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞．
(1)按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速,此天体即为黑洞．试导出该天体半径的表达式．已知太阳质量约为,引力常量,真空中的光速,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？
(2)以上由牛顿力学得到的恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致．
按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵正比于其视界面积,即
其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含）．
(3)对于一个绝对温度为、质量为的简单黑洞，其内能和熵满足基本热力学关系．按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系给出．试由此导出黑洞温度与其质量之间的关系式，并计算此黑洞的热容．
(4)假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知,求该热机从开始至最终的全过程对外所做的总功．
(5)按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率与黑洞质量之间的关系．已知斯特藩-玻尔兹曼常量．
(6)由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为,不考虑其它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间．

6 . 如图所示，半圆形光滑轨道AB固定在竖直面内，与光滑水平面BC相切于B点。水平面BC右侧为顺时针转动的水平传送带，与传送带相邻的光滑水平面DF足够长。F处固定一竖直挡板，物块撞上挡板后以原速率反弹。现有物块P恰好通过圆弧最高点A，沿着圆弧运动到B点，此时速度大小为。DF上静置一物块Q。已知P、Q均可视为质点，质量分别为，，P、Q间碰撞为弹性碰撞。传送带长，物块P与传送带间的动摩擦因数。不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失，重力加速度，不计空气阻力，结果可用根式表示。求：
（1）半圆形轨道半径R；
（2）调整传送带的速度大小，物块P到达D点时可能速度大小的范围；
（3）若传送带速度大小为，则从P、Q第1次碰撞结束到第2024次碰撞结束，物块P在传送带上运动的总时间t。（碰撞始终发生在DF上）

7 . 如图，为某一粒子分离收集装置，间距的两平行绝缘板之间为初始粒子通道，为中轴线，工作时会有大量带电粒子或仅沿着中轴线通过该通道，或平行于中轴线通过整个通道。如果需要，整个通道还可以绕O点在纸面内转动，其右侧分布着垂直于纸面向外的单边界水平磁场，磁感应强度为，磁场区域在竖直方向和右边足够大，O点为通道中轴线与磁场左边界的交点，初始中轴线垂直于边界。在左边界放置足够大单向滤网板，带电粒子可以从左向右无影响的穿过滤网板，但是从右向左带电粒子无法穿越，从右向左遇到单向滤网板会被滤网板挡住且收集，可以视为收集板。平行板的右端与磁场左边界有足够距离，以O点为坐标原点，沿边界竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，建立坐标系。现有大量速度都为的、粒子，从左端进入通道，实施试验。已知的质量为，的质量为2m，它们的带电量都为，不计粒子在通道内的运动时间，粒子离开通道后可以继续匀速直线前进，直至进入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互影响。
（1）第一次试验，通道不转动，带电粒子仅沿着中轴线通过通道，求在收集板上的落点位置（用y坐标表示）；
（2）第二次试验，整个通道绕O点在纸面内缓慢转动，转动范围为中轴线与水平方向的夹角为θ（）的上下对称区域，带电粒子始终沿着中轴线通过通道，为了使、粒子在收集板上不重叠，求转动角θ的最大值；
（3）第三次试验，通道在上下对称区域内缓慢转动，最大转动角，带电粒子始终平行于中轴线通过整个通道，求、粒子在收集板上的重叠区间。
   

8 . 如图，一组平行等间距的足够长导轨由倾角粗糙倾斜导轨与水平导轨相连构成，导轨间距为l，在倾斜导轨的边界EF上方，存在垂直于斜面向上，大小为B的匀强磁场。现将质量为m，电阻为R的导体棒M，放在倾斜导轨顶端，与其相距d处（仍在磁场中）放置完全相同的导体棒N，发现两导体棒恰好不滑动。一质量为m₀，可视为质点的小球，从水平轨道平面中轴线上方某点，以初速度水平抛出，恰好平行于倾斜导轨，在M杆中心处与导体棒M发生弹性碰撞。已知，重力加速度为g，接触面间的最大静摩擦与滑动摩擦力相等。
（1）求小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a；
（2）若要保证M、N在磁场中不发生碰撞，求两导体棒初始距离d的最小值及N棒上产生焦耳热的最大值；
（3）若N棒离开EF时的速度与M棒速度相等（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），为确保之后M棒也能离开磁场，则d应该满足的条件范围。

9 . 某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，一圆心为、半径为的半圆和一圆心为、半径为的圆相切于A点，直径下方的半圆圆外区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，半径为的圆内区域存在垂直纸面向外的匀强磁场（未知），上方电容器的平行金属板和正对放置，板长为，两板间距为，金属板下边缘连线与圆形磁场最高点在同一水平线上，点距左金属板，上边缘连线紧挨着一水平放置的感光板。一群电量为、质量为的粒子，可在左侧长度为的水平线状粒子发射装置上以相同速度竖直向下射出，控制出发的时间，使得所有粒子同时到达A点，其中点出发的粒子经过A点后恰好能运动至点，粒子进入电容器若打到金属板上会被吸收，不考虑电容器的边缘效应，不计粒子重力及粒子之间相互作用力。（计算过程中取）
（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）若要点出发的粒子能打到感光板上，求电容器的板电势差范围；
（3）控制电容器的电压，使得所有粒子都能打到感光板上让感光板上发光，求感光板发光持续的时间。

10 . 小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。