突破2.4正态分步重难点突破

一、考情分析

1.了解正态项分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

二、经验分享

1.（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（为常数，且$\sigma >0$），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

（2）正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.

（3）正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

2.（1）标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为$\phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(x\in \left(-\infty ,+\infty \right)\right)$，则称ξ服从标准正态分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.

注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.

（2）正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通常用表示，且有.

3.（1）“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

（2）“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

三、题型分析

2015·山东·高考真题

单选题 | 适中(0.64)

真题 名校

解题方法

利用正态分布对称性求概率或参数值

已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）

A．4.56%

B．13.59%

C．27.18%

D．31.74%

2019-01-30更新 | 8726次组卷 | 59卷引用：2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）

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单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用正态分布对称性求概率或参数值

设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（       ）

A．	B．
C．对任意正数，	D．对任意正数，

2021-03-27更新 | 1672次组卷

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16-17高二下·甘肃兰州·期末

解答题-问答题 | 适中(0.65)

真题 名校

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得，，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

2020-07-11更新 | 19956次组卷 | 63卷引用：甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题

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19-20高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的概率分布和均值.
(注：方差s²＝ [(x₁－)²＋(x₂－)²＋…＋(x_n－)²]，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数)

2020-08-27更新 | 47次组卷 | 1卷引用：突破2.4正态分步-突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）

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