【推荐1】设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，直线：与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点.若，求证：直线经过定点.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知圆经过、、三点，其中.
(1)求圆的标准方程（用含的式子表示）；
(2)已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为、，圆与轴的两个交点分别为、，且点在点右侧，点在点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在轴上，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.

【推荐1】已知椭圆的左，右顶点分别为，，为椭圆上一点，，为椭圆上异于，的两点，且直线不与坐标轴平行，点关于原点对称的点为，的最大值为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在椭圆上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值.

【推荐2】已知椭圆，过右焦点且不与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于点N，求的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1．
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，且其焦点和短轴端点都在圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求的最大值.

【推荐1】椭圆，过左焦点的直线交椭圆E于A、C两点，的最大值为，最小值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过的直线交椭圆E于B、D两点，且，求四边形ABCD的面积的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，且经过点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为.
(1)求椭圆的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.