【推荐1】已知椭圆的离心率为，C上点M到C外点的距离最小值为2．
(1)求C的方程；
(2)设A，B为C的左右顶点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线与的斜率之积为．记和的面积分别为S₁，S₂，求的最大值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，且，求线段MN所在的直线方程．

【推荐3】 已知椭圆：经过点，离心率为，点A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点A的两个点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求面积的最大值；

【推荐1】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点.   

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；

(Ⅱ) 当时，求的面积；

（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .

【推荐2】已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点
．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线 交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

【推荐3】已知椭圆​为椭圆​的左、右焦点，过点​的任意直线​交椭圆​于、​两点，且的周长为8，椭圆​的离心率为​.
(1)椭圆​的方程；
(2)若​为椭圆​上的任一点，​为过焦点​的弦，且​，求​的值.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积最大值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点、，以为直径的圆与轴交于两点、，求面积的最大值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.
（1）若，求的面积；
（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，直线过的右焦点，且交于两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．

【推荐2】如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．

(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的一个顶点，是顶角为120°的等腰三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．