【推荐1】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.
(1)求与；
(2)设，，求的前项和.

【推荐3】对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”

【推荐1】已知数列满足：，且，设
(1)求数列的通项公式
(2)在数列中，是否存在连续三项依次构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由
(3)试证明：在数列中，一定存在正整数，使得依次构成等差数列，并求出之间的关系

【推荐2】已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.

【推荐3】已知各项均为正数的数列满足，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项之和为，对任意的，总有，求实数的取值范围.

【推荐1】已知是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，．
(1)证明：数列是常数数列；
(2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
(3)证明：当时，直线的斜率随单调递增．

【推荐2】记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，求证：.

【推荐3】已知数列满足，，记．
（1）求和；
（2）证明：．

【推荐1】设数列满足， ，数列满足是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和S_n.

【推荐2】（1）已知数列满足，求数列的通项公式.
（2）已知数列满足，求数列的通项公式.

【推荐3】数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.