对非空数集
，
，定义与的和集
.对任意有限集
，记
为集合中元素的个数.
(1)若集合
，
，写出集合
与
；
(2)若集合
满足
，
，且
，求证：数列
，
，
，
是等差数列；
(3)设集合满足，，且
，集合
（
，
），求证：存在集合满足
且
.
，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合
，，写出集合与；(2)若集合
满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；(3)设集合
满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
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更新时间：2022-03-30 07:16:57
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】对正整数
，记
，
.
(1)用列举法表示集合
；
(2)求集合
中元素的个数；
(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合
能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
，记，.(1)用列举法表示集合
；(2)求集合
中元素的个数；(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合
能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
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解答题-问答题
|
困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】我们学过二维的平面向量，其坐标为
，那么对于
维向量，其坐标为
.设维向量的所有向量组成集合
.当
时，称为
的“特征向量”，如
的“特征向量”有
，
，
，
.设
和
为的“特征向量”， 定义
.
（1）若
，
，且
，
，计算
，
的值；
（2）设
且
中向量均为
的“特征向量”，且满足：
，
，当
时，为奇数；当
时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设
，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，
.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.（1）若
，，且，，计算，的值；（2）设
且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；（3）设
，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
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，
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】无穷数列
和
满足：①
②
，记的前项积为
，
(1)是否存在
使得的前四项依次成等差数列？若存在则写出一组这样的若不存在，则说明理由；
(2)若
，求
的最大值.
和满足：①②，记的前项积为，(1)是否存在
使得的前四项依次成等差数列？若存在则写出一组这样的若不存在，则说明理由；(2)若
，求的最大值.
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【推荐2】已知数列
的前项和为
，
（
为常数）对于任意的
恒成立．
（1）若
，求的值；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）若
，关于
的不等式
有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围．
的前项和为，（为常数）对于任意的恒成立．（1）若
，求的值；（2）证明：数列
是等差数列；（3）若
，关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围．
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，有
；②任意x，
，有
或
，则称数集
和
是否具有性质
且
具有性质
时，求证：
，
，…，
是等差数列；
【推荐1】已知递增数列的前项和为，且满足
，
.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试求所有的正整数，使得
为整数；
（3）证明：
.
的前项和为，且满足，.（1）求证：数列
为等差数列；（2）试求所有的正整数
，使得为整数；（3）证明：
.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】对于项数为
的有穷数列，若
，则称为“
数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为
，
.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）
(2)已知“数列”
的各项互不相同，且
，
.若
也是“数列”，求有穷数列的通项公式；
(3)已知“数列”是
的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且
，求的所有可能值.
的有穷数列，若，则称为“数列”.(1)已知数列
、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）(2)已知“
数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；(3)已知“
数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.
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阶“期待数列”：
；
.
阶和
阶“期待数列”.
阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.
，试证： 
.
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】已知集合
，任取
，
，定义
，其中
表示
，
中的最大值，例如
，
.
(1)当
且
时，写出满足
的所有元素
；
(2)设
，
满足
，求
的最大值和最小值；
(3)若
的子集
满足：
，
成立，求集合中元素个数
的最大值.
，任取，，定义，其中表示，中的最大值，例如，.(1)当
且时，写出满足的所有元素；(2)设
，满足，求的最大值和最小值；(3)若
的子集满足：，成立，求集合中元素个数的最大值.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】设数阵
，其中
．设
，其中
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，则将这一行中每个数都乘以
；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”
表示“将
经过
变换得到
，再将经过
变换得到
以此类推，最后将
经过
变换得到
．记数阵中四个数的和为
．
(1)若
，写出经过
变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若
，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过
．
，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为．(1)若
，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若
，求的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵
，证明：的所有可能取值的和不超过．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐3】如图，T是3行3列的数表，用
表示位于第i行第j列的数，且满足
．
数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中
的相邻项仅有
和
．对于数表T，定义操作
为将该数表中的
以及的相邻项从x变为
，其他项不变，并将操作的结果记为
．已知数表
满足
．记变换
为n个连续的上述操作，即
，使得
，并记
(1)给定变换
，直接写出
．
(2)若
满足
，其他项均为0．是含n次操作的变换且有
，求n的最小值．
(3)若变换中每个操作至多只出现一次，则称变换是一个“优变换”，证明：任给一个数表
，存在唯一的一个“优变换”，使得
．
表示位于第i行第j列的数，且满足． | |  |
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的相邻项仅有和．对于数表T，定义操作为将该数表中的以及的相邻项从x变为，其他项不变，并将操作的结果记为．已知数表满足．记变换为n个连续的上述操作，即，使得，并记(1)给定变换
，直接写出．(2)若
满足，其他项均为0．是含n次操作的变换且有，求n的最小值．(3)若变换
中每个操作至多只出现一次，则称变换是一个“优变换”，证明：任给一个数表，存在唯一的一个“优变换”，使得．
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