【推荐1】在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时，_________．

【推荐2】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________.

【推荐3】已知的内角A、B、C对的边分别为a，b，c，，D为边AC上一点，满足且，则的最小值为_________．

【推荐1】在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______.

【推荐2】设锐角的外心为O，且，，则__________．

【推荐3】根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______.