【推荐1】已知中角所对的边为，点在上，，记的面积为的面积为，则___________.

【推荐2】在正三棱锥S—ABC中，点D是的中点，若，则大小为______．

【推荐3】我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是______.
  

【推荐1】在平行四边形中，已知，，点是的中点，与相交于点，若，则__________．

【推荐2】方格纸中向量，如图所示，若，则_______.

【推荐3】已知在中，为边上的点，，若，则__________．

【推荐1】已知实数满足，则的最大值是________________．

【推荐2】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.

【推荐3】设，，且，则的最小值为________