在平面直角坐标系
中，已知圆
(1)若直线
与圆
相切，且在坐标轴上截距相等，求直线的方程；
(2)若过
点的射线与圆有两个不同交点
，且射线上存在点
使得
，求
的取值范围.
中，已知圆(1)若直线
与圆相切，且在坐标轴上截距相等，求直线的方程；(2)若过
点的射线与圆有两个不同交点，且射线上存在点使得，求的取值范围.
更新时间：2023-06-14 13:16:19
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解题方法
【推荐1】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设
，
，，
是直线上互异且非无穷远的四点，则称
（分式中各项均为有向线段长度，例如
）为，，，四点的交比，记为
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，
为平面上过定点
且互异的四条直线，
，
为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为
，
，
，
，与，，，的交点分别为
，
，
，
，证明：
；
(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若
与
的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．
，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为．(1)证明：
；(2)若
，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若
与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．
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【推荐2】如图，已知城市
周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方
处，乡镇与城市相距
，
与
夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路
和
，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；
（2）当
，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；
（3）若要求两个交汇点、的距离不超过
，求
正切值的取值范围.
周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）当两个交汇点
、重合，试确定此时路段长度；（2）当
，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；（3）若要求两个交汇点
、的距离不超过，求正切值的取值范围.
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，
，
，直线
．
的面积，求直线
，李老师站在点
（反射点为
）、
）反射后，光斑落在
的直线方程．
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【推荐1】如图，已知圆Q：(x＋2)2＋(y－2)2=1，抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线l'与圆Q有交点.
（1）求直线l'的斜率的取值范围；
（2）求△AOB面积的取值范围.
（1）求直线l'的斜率的取值范围；
（2）求△AOB面积的取值范围.
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【推荐2】椭圆：
的离心率为
，椭圆截直线
所得的弦长为
，过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点
，直线与圆：
相切于点
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若
，求直线的方程和圆的半径
.
：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为，过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.(1)求椭圆
的方程；(2)若
，求直线的方程和圆的半径.
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．
相交于两点A、B问：是否存在实数a，使得
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【推荐1】已知圆心在轴上的圆与直线
切于点
，圆
．
(1)求圆的标准方程．
(2)若圆上两动点
，与坐标原点
所成角
，求线段
中点
的轨迹方程；
(3)已知
，圆与轴相交于两点
两点（点在点的右侧）．过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点．问：是否存在实数
，使得
？若存在，求出实数值，若不存在，请说明理由．
轴上的圆与直线切于点，圆．(1)求圆
的标准方程．(2)若圆
上两动点，与坐标原点所成角，求线段中点的轨迹方程；(3)已知
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【推荐2】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：
交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若
，其中O为坐标原点，求
的面积．
交于M，N两点．(1)求k的取值范围；
(2)若
，其中O为坐标原点，求的面积．
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，圆
与
、
的斜率分别为
、
，求证：
为定值．
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【推荐1】选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为
，（
为参数） ，以坐标原点为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；
（Ⅱ）已知点
的坐标为
，直线与曲线交于
两点，求
的最大值.
在平面直角坐标系
中，已知直线的参数方程为 ，（为参数） ，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；（Ⅱ）已知点
的坐标为，直线与曲线交于两点，求的最大值.
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【推荐2】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的直角坐标方程为
，曲线的极坐标方程为
（1）设
为参数，若
，求直线的参数方程及曲线的普通方程；
（2）已知直线与曲线交于，设
，且
依次成等比数列，求实数的值．
轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）设
为参数，若，求直线的参数方程及曲线的普通方程；（2）已知直线
与曲线交于，设，且依次成等比数列，求实数的值．
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【推荐3】在平面直角坐标系中，直线l过点
，且倾斜角为
.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的参数方程（设t为参数）与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l经过点
，且与曲线C相交于A，B两点，求
的值.
中，直线l过点，且倾斜角为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的参数方程（设t为参数）与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l经过点
，且与曲线C相交于A，B两点，求的值.
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