【推荐1】已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．

【推荐2】（1）过点的直线交抛物线于点，，证明：以为直径的圆过原点；
（2）已知的顶点，的坐标分别为，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线.

【推荐3】已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线相交于点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，直线与点的轨迹交于两点，试问的轨迹上是否存在两点，使得四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①与直线相切；
②与圆：相外切；
③经过直线与直线的交点.
(1)求圆的方程；
(2)圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．

【推荐3】已知点，，，动点满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若动点满足，求动点的轨迹方程；
(3)过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程.

【推荐1】已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.
(1)求圆M的方程，并判断圆M 与圆N：的位置关系；
(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

【推荐2】设，若，，求的最小值.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）点,圆上是否存在点,使若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.

【推荐1】已知圆过点，且圆心在直线，圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

【推荐2】已知圆，圆，C₁，C₂分别为两圆的圆心．
（1）求圆C₁和圆C₂的公共弦长；
（2）过点C₁的直线l交圆C₂与A，B，且，求直线l的方程．

【推荐3】已知圆：，圆：．
(1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔
(2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．