在信息论中,熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量,又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里,“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度,因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是,比较不可能发生的事情,当它发生了,会提供更多的信息.由于一些其他的原因,把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量,这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特,但也用、、计量,取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如,投掷一次硬币提供了1的信息,而掷次就为位.更一般地,你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年,克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现,使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为,定义的信息熵,(,).
(1)若,试探索的信息熵关于的解析式,并求其最大值;
(2)若,(),求此时的信息熵.
(1)若,试探索的信息熵关于的解析式,并求其最大值;
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23-24高三上·河北·期末 查看更多[7]
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更新时间:2024-01-16 23:33:23
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【推荐1】已知时,函数,对任意实数都有,且,当时,
(1)判断的奇偶性;
(2)判断在上的单调性,并给出证明;
(3)若且,求的取值范围.
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【推荐2】已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.
(1)求与的解析式;
(2)求证:在区间上单调递增;并求在区间的反函数;
(3)设(其中为常数),若对于恒成立,求的取值范围.
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【推荐1】已知函数,(),其中e是自然对数的底数.
(1)当时,
(ⅰ)求在点处的切线方程;
(ⅱ)求的最小值;
(2)讨论函数的零点个数;
(3)若存在,使得成立,求a的取值范围
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【推荐2】已知函数.
(1)求函数单调增区间;
(2),使得,求实数的取值范围.
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解题方法
【推荐3】已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,,求的最小值.
(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知数列是等比数列,,且成等差数列.数列满足:.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求证:.
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【推荐2】已知数列的前n项和为,,(,且).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,求使不等式对一切均成立的最大实数p.
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【推荐1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售额(单位:万元)的影响,对近6年的年宣传费和年销售额数据进行了研究,发现宣传费和年销售额具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(I)根据表中数据建立关于的回归方程;
(Ⅱ)利用(I)中的回归方程预测该公司如果对该产品的宣传费支出为10万元时销售额是万元,该公司计划从10名中层管理人员中挑选3人担任总裁助理,10名中层管理人员中有2名是技术部骨干,记所挑选3人中技术部骨干人数为且随机变量,求的概率分布列与数学期望.
附:回归直线的倾斜率截距的最小二乘估计公式分别为:
,
(I)根据表中数据建立关于的回归方程;
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附:回归直线的倾斜率截距的最小二乘估计公式分别为:
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【推荐2】新高考数学试卷中的多项选择题,给出的4个选项中有2个以上选项是正确的,每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分,选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为,有3个选项正确的概率为,没有4个选项都正确的(在本问题中认为其概率为0). 在一次模拟考试中:
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的,从其余的三个选项中随机选择2个作为答案,若小明该题得5分的概率为,求;
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的,其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案:①只选A不再选择其他答案;②从另外三个选项中再随机选择1个,共选2个;③从另外三个选项中再随机选择2个,共选3个. 若,以最后得分的数学期望为决策依据,小明应该选择哪个方案?
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【推荐3】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)经计算第(1)问中样本标准差的近似值为50,根据大量的测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布(用样本平均数和标准差分别作为的近似值),现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程的概率;
(参考数据:若随机变量,则,
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、3、……、20)移动,若遥控车最终停在“胜利大本营”(第19格),则可获得购车优惠券3万元;若遥控车最终停在“微笑大本营”(第20格),则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是,遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次:若掷出正面,遥控车向前移动一格(从到;若掷出反面,遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时,游戏结束.设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值(精确到万元).
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)经计算第(1)问中样本标准差的近似值为50,根据大量的测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布(用样本平均数和标准差分别作为的近似值),现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程的概率;
(参考数据:若随机变量,则,
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、3、……、20)移动,若遥控车最终停在“胜利大本营”(第19格),则可获得购车优惠券3万元;若遥控车最终停在“微笑大本营”(第20格),则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是,遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次:若掷出正面,遥控车向前移动一格(从到;若掷出反面,遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时,游戏结束.设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值(精确到万元).
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