【推荐1】在一次小组合作学习中，小红同学在复习她曾经做过的一道数列题目发现因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知____________，
（1）判断的关系并给出证明．
（2）若，设，的前n项和为，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
小红同学经过回忆记得缺少的条件可能是公比q的值，同组的小明同学记得缺少的条件也是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列．如果他们记得的可能的条件和答案都是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．

【推荐2】设是等差数列前项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列的通项．

【推荐3】已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

【推荐1】已知数列是等比数列，数列满足对，且.
(1)求数列和通项公式；
(2)若数列的前项和为，求证：；
(3)对任意的正整数，设数列求.

【推荐2】已知等比数列满足：，且是的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求.

【推荐3】袋中有大小形状均相同的1白球、2黑球，现进行摸球游戏，约定摸出白球得2分，摸出黑球得1分．
（Ⅰ）现约定有放回地摸球4次，得分为X，求变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）当游戏得分为n（n∈N^*）时，游戏停止，记得n分的概率为Q_n，Q₁＝．
（ⅰ）求Q₂；
（ⅱ）若T_n＝Q_n+1﹣Q_n，求数列{T_n}的通项公式．

【推荐1】在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．

【推荐2】设是等差数列，是等比数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和为，求.

【推荐3】已知等比数列满足：，且是的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是单调递增的，令，，求使成立的正整数的最小值．

【推荐1】已知递增等比数列满足：，．
（1）求的前n项和；
（2）设，求数列的前项和．

【推荐2】已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，求.

【推荐3】已知数列满足，且是和的等差中项.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.