【推荐1】已知，.其中.设函数，如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，向上平移1个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若过点的直线l交双曲线C的右支于E，F两点，Q为x轴上一点，满足；试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.

(1)求；
(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.

【推荐1】已知圆C：，直线L：（）．
（1）证明：无论m取何值，直线L与圆C恒交于两点；
（2）已知直线L与圆D：（）相切，求使得R最大时m的值．

【推荐2】已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

【推荐3】已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不过点的动直线与椭圆相交于两点，若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

【推荐1】已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.

(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为. 直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．

【推荐2】已知，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.
（1）设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：；
（ii）证明：是直角三角形；
（2）求的面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，分别是它的左､右焦点，且存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与抛物线相交于A､B两点，射线､与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，当且仅当时，总存在实数m，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.