【推荐1】已知为抛物线：的焦点，为坐标原点.过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点.
(1)若点在抛物线上，求；
(2)若的面积为，求实数的值；
(3)是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P.若椭圆的右顶点为B，且.
(1)求椭圆C₁的离心率；
(2)若椭圆C₁的焦距为2，直线l过点B且不与坐标轴垂直.设l与椭圆C₁相交于不同于B的另一点D，l与抛物线C₂相交于不同于的两点M、N，且，求实数的取值范围.

【推荐3】已知抛物线.
（1）设为抛物线上横坐标为1的定点，为圆上的上的动点，若抛物线与圆无公共点，且的最小值，求的值；
（2）设直线交抛物线于，两点，另一条直线交抛物线于，两点，交于点，且直线，的斜率均存在，（为坐标原点），四边形的四条边所在直线都存在斜率，直线的斜率不等于0，求证：（，分别为直线，的斜率）

【推荐1】已知抛物线的焦点为F,直线与轴的交点为P,与C的交点为Q,且过F的直线与C相交于A、B两点.
(1)求C的方程；
(2)设点且的面积为求直线的方程；
(3)若线段AB的垂直平分线与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求直线的方程.

【推荐2】如图，已知点抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为，记的面积分别为.

（1）求抛物线的方程；
（2）是否为定值？并说明理由.

【推荐3】已知抛物线：的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为．
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与线段交于点．试问：是否存在，使得和△的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在直角坐标系中，已知点、Q(x，y)，若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.

【推荐2】已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆上焦点，且与直线相切．

(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

【推荐3】设抛物线：（），圆：.已知上的点到的准线的距离的最大值为8.
(1)求；
(2)倾斜角为45°的直线与交于，两点，与交于，两点.
（ⅰ）若为圆的直径，求的面积；
（ⅱ）当取最大值时，求直线在轴上的截距.

【推荐1】已知抛物线在点处的切线斜率为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围．

【推荐2】设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【推荐3】抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交E于P，Q两点，且.
(1)求E的方程；
(2)直线与E相交于A，B两点，点C在E上，直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求内切圆D的方程.