【推荐1】已知数列满足，且点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．

【推荐2】已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立，
（I）证明:数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.

【推荐3】11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.

【推荐1】已知数列的首项为1，记.
（1）若数列是公比为3的等比数列，求的值；
（2）若数列是公差为2的等差数列，①求证：；②求证：是关于的一次多项式.

【推荐2】平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.

【推荐3】（1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.

【推荐1】 记.
（1）求的值；
（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.

【推荐3】设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．

【推荐1】已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．
(3)设，且数列的前项和为，求证：．

【推荐2】已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为T倍周期函数.
（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的；
（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围.

【推荐3】已知数列，满足，，，．
（1）证明：为常数数列，且．
（2）设数列的前项和为，证明：．