【推荐1】已知数列，满足且，，则______.

【推荐2】如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次？

【推荐3】已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为______．

【推荐1】已知数列满足，则_________．

【推荐2】在平面直角坐标系中，定义（为点到点的一个变换，我们把它称为点变换．已知，，…，，是经过点变换得到的一列点．设，数列的前项和为，那么的值为　________．

【推荐3】已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和＝________.

【推荐1】记为正项等比数列的前项和.若，，则公比_______；________.

【推荐2】已知等比数列的各项都为正数，且当时，则数列
的前项和等于______.

【推荐3】纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、、、、…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①、、、…、所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的宽度为，则纸的长度为______；、、…、八张纸的面积之和等于______.

【推荐1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______.

【推荐2】设数列的前n项和为．若，则_____．

【推荐3】设各项均为正数的数列的前项和满足，，则数列的前2020项和__________.