已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足 的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
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更新时间:2018-06-09 10:49:56
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【推荐1】某校从参加高二年级期中考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(满分100分,均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.根据图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩的中位数.(精确到0.1);
(2)按分层抽样的方法在数学成绩是[60,70),[70,80)的两组学生中选6人,再在这6人种任取两人,求他们的分数在同一组的概率.
(1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩的中位数.(精确到0.1);
(2)按分层抽样的方法在数学成绩是[60,70),[70,80)的两组学生中选6人,再在这6人种任取两人,求他们的分数在同一组的概率.
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【推荐2】某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人),现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2.
表1
表2
(1)先确定x,y,再在图中完成表1和表2的频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)
(2)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
表1
生产能力分组 | |||||
人数 | 4 | 8 | x | 5 | 3 |
生产能力分组 | ||||
人数 | 6 | y | 36 | 18 |
(2)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
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【推荐3】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取名观众,抽取次,记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列及数学期望.
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众,再从抽取的抽取名观众中随机抽取名,表示抽取的是“体育迷”的人数,求的分布列.
(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取名观众,抽取次,记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列及数学期望.
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众,再从抽取的抽取名观众中随机抽取名,表示抽取的是“体育迷”的人数,求的分布列.
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名校
解题方法
【推荐1】某次数学考试中只有两道题目,甲同学答对每题的概率均为,乙同学答对每题的概率均为,且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为.
(1)求和的值;
(2)设事件“甲同学答对了道题”,事件“乙同学答对了道题”,,试求甲乙两人共答对了3道题的概率.
(1)求和的值;
(2)设事件“甲同学答对了道题”,事件“乙同学答对了道题”,,试求甲乙两人共答对了3道题的概率.
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解题方法
【推荐2】为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会),中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次,且两人命中目标与否互不影响.已知甲命中目标的概率为,乙命中目标的概率为.
(1)求甲没有命中目标的概率;
(2)在两次射击中,求恰好有一人命中目标的概率.
(1)求甲没有命中目标的概率;
(2)在两次射击中,求恰好有一人命中目标的概率.
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【推荐3】某地为鼓励群众参与“全民读书活动”,增加参与读书的趣味性.主办方设计这样一个小游戏:参与者抛掷一枚质地均匀的骰子(正方体,六个面上分别标注1,2,3,4,5,6六个数字).若朝上的点数为偶数.则继续抛掷一次.若朝上的点数为奇数,则停止游戏,照这样的规则进行,最多允许抛掷3次.每位参与者只能参加一次游戏.
(1)求游戏结束时朝上点数之和为5的概率;
(2)参与者可以选择两种方案:方案一:游戏结束时,若朝上的点数之和为偶数,奖励3本不同的畅销书;若朝上的点数之和为奇数,奖励1本畅销书.方案二:游戏结束时,最后一次朝上的点数为偶数,奖励5本不同的畅销书,否则,无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励?并说明判断的理由.
(1)求游戏结束时朝上点数之和为5的概率;
(2)参与者可以选择两种方案:方案一:游戏结束时,若朝上的点数之和为偶数,奖励3本不同的畅销书;若朝上的点数之和为奇数,奖励1本畅销书.方案二:游戏结束时,最后一次朝上的点数为偶数,奖励5本不同的畅销书,否则,无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励?并说明判断的理由.
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【推荐1】为有效控制我国儿童和青少年近视发病率,提高儿童和青少年视力健康水平,教育部发文鼓励和倡导学生经常参加户外活动,积极参加体育锻炼乒乓球羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某中学对学生参加羽毛球运动的情况进行调查,将每周参加羽毛球运动超过2小时的学生称为“羽毛球爱好者”,否则称为“非羽毛球爱好者”,从调查结果中随机抽取50份进行分析,得到数据如表所示:
(1)补全列联表,并判断是否有99%的把握认为是否为“羽毛球爱好者”与性别有关?
(2)为了解学生的羽毛球运动水平,现从抽取的“羽毛球爱好者”学生中,按性别采用分层抽样的方法抽取三人,与体育老师进行羽毛球比赛.若男“羽毛球爱好者”获胜的概率为,女“羽毛球爱好者”获胜的概率为,三人比赛结果独立.记这三人获胜的人数为X,求X的分布列和数学期望.
羽毛球爱好者 | 非羽毛球爱好者 | 总计 | |
男 | 20 | 26 | |
女 | 14 | ||
总计 | 50 |
(2)为了解学生的羽毛球运动水平,现从抽取的“羽毛球爱好者”学生中,按性别采用分层抽样的方法抽取三人,与体育老师进行羽毛球比赛.若男“羽毛球爱好者”获胜的概率为,女“羽毛球爱好者”获胜的概率为,三人比赛结果独立.记这三人获胜的人数为X,求X的分布列和数学期望.
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解答题-应用题
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(0.65)
名校
【推荐2】为提升学生的身体素质,某地区对体育测试选拔赛试行改革.在高二一学年中举行4次全区选拔赛,学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格,不用参加剩余的比赛.规定:每个学生最多只能参加4次选拔比赛,若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名,则不能参加第4次选拔赛.
(1)若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加,统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表:
请完成上述2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关.
(2)假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是,每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立.如果该学生参加本年度的选拔赛(规则内不放弃比赛),记该学生参加选拔赛的次数为,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,其中.
(1)若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加,统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表:
前20名人数 | 第21至第500名人数 | 合计 | |
男生 | 15 | 300 | |
女生 | 195 | ||
合计 | 20 | 500 |
(2)假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是,每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立.如果该学生参加本年度的选拔赛(规则内不放弃比赛),记该学生参加选拔赛的次数为,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐3】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效的改良玉米品种,为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如右图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
(2)(i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为,求的分布列(概率用组合数算式表示);
(ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株,求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.
(,其中)
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
(2)(i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为,求的分布列(概率用组合数算式表示);
(ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株,求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.
0.025 | 0.010 | 0.005 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 |
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】市某企业坚持以市场需求为导向,合理配置生产资源,不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量(吨)与相应的生产总成本(万元)的五组对照数据.
(Ⅰ)根据上述数据,若用最小二乘法进行线性模拟,试求关于的线性回归直线方程;
参考公式:,.
(Ⅱ)记第(Ⅰ)问中所求与的线性回归直线方程为模型①,同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了与的回归模型②:.其中模型②的残差图(残差实际值预报值)如图所示:
请完成模型①的残差表(见答题卡)与残差图,并根据残差图,判断哪一个模型更适宜作为关于的回归方程?并说明理由;
(Ⅲ)研究人员统计历年的销售数据,得到每吨产品的销售价格(万元)是一个与月产量相关的随机变量,其分布列为:
结合你对(Ⅱ)的判断,当月产量为何值时,月利润的预报期望值最大?
产量(件) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
生产总成本(万元) | 3 | 7 | 8 | 10 | 12 |
(Ⅰ)根据上述数据,若用最小二乘法进行线性模拟,试求关于的线性回归直线方程;
参考公式:,.
(Ⅱ)记第(Ⅰ)问中所求与的线性回归直线方程为模型①,同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了与的回归模型②:.其中模型②的残差图(残差实际值预报值)如图所示:
请完成模型①的残差表(见答题卡)与残差图,并根据残差图,判断哪一个模型更适宜作为关于的回归方程?并说明理由;
(Ⅲ)研究人员统计历年的销售数据,得到每吨产品的销售价格(万元)是一个与月产量相关的随机变量,其分布列为:
0.5 | 0.3 | 0.2 |
结合你对(Ⅱ)的判断,当月产量为何值时,月利润的预报期望值最大?
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数(单位:次)的影响,对近8年(2015年~2022年)每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于的经验回归方程;
(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为,利用(1)中的回归方程,估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数;
(3)根据数据统计,该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为,现从该市所有顾客中随机抽取4人,记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为,求的分布列和数学期望.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为,利用(1)中的回归方程,估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数;
(3)根据数据统计,该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为,现从该市所有顾客中随机抽取4人,记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为,求的分布列和数学期望.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一,运行一段时间后,再经过2号门进入区域二,继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态,并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门,经过2号门后,两粒子运动状态发生改变的概率为(运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态),并在区域二中一直保持此运动状态.
(1)求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下,经过2号门后状态不变的概率;
(2)若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2,求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率;
(3)将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态,则停止经过2号门,否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门,直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时,粒子经过2号门的次数为(,2,3,4,…,).求的数学期望(用表示).
(1)求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下,经过2号门后状态不变的概率;
(2)若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2,求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率;
(3)将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态,则停止经过2号门,否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门,直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时,粒子经过2号门的次数为(,2,3,4,…,).求的数学期望(用表示).
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