【推荐1】已知抛物线与双曲线有相同的焦点．

(1)求的方程，并求其准线的方程；
(2)如图，过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，直线与准线交于点，过点作的垂线，垂足为．求： 的值，且判断四边形的形状．

【推荐2】若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程．

【推荐3】已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.

【推荐1】早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点的位置．

【推荐2】过抛物线E：的焦点F作斜率为的直线，与抛物线E交于点，若.
（1）求抛物线E的方程；
（2）若点在抛物线E上，且，过线段AB的中点C作抛物线E的准线的垂线，垂足为，求的最大值.

【推荐3】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

【推荐1】已知直线 ，抛物线，
（1）当l与C有两个公共点时，求的取值范围；
（2）l与C相交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为5，求m的值．

【推荐2】已知抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，，不过原点的直线与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线和圆M的方程．