【推荐1】如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求:

（1）三棱柱侧面展开图的对角线长；
（2）从经过到的最短路线长及此时的值.

【推荐2】如图，在正三棱柱容器中，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：

（1）求该最短路线的长；(用含a的表达式表示)
（2）若该正三棱柱容器外接球的表面积为，求能放入该容器的最大的球的体积.

【推荐3】如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．

(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当P在线段上移动时，求的最小值．

【推荐1】如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
   

【推荐2】如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面水平放置时，水面恰好过，，的中点E，F，G，H.

   

(1)直接写出直线FG与直线、直线FG与平面的位置关系（不要求证明）；
(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由.
(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.

【推荐3】如图，在四面体ABCD中，E、H、F、G分别是边AB、AD、BC、CD的中点．

(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．