【推荐1】已知数列的前项积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)证明：.

【推荐2】已知数列的前项和为，且，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．

【推荐3】在数列中，已知，，
（1）求，的值；
（2）若，证明：数列是等差数列；
（3）在（2）的条件下，求数列的通项公式；

【推荐1】某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，已知第关的难度为Ⅰ．
(1)求第关的难度为Ⅲ的概率；
(2)用表示第关的难度为Ⅲ的概率，求；
(3)设，记，且对任意恒成立，求实数的最大值．

【推荐2】已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足，其中为正常数且.
（1）求数列的通项.
（2）设，数列的前项和为，求证：.

【推荐3】已知数列满足，，.
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，，，求证.