2013高三·湖南·竞赛
1 . 已知函数
，且对任意的
均有
.
（1）求
的取值范围；
（2）若
，证明：
.
，且对任意的均有.（1）求
的取值范围；（2）若
，证明：.
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2 . (1)设实数
．证 明： 
(2 )从编号为
的 100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 P ．证明： 
.
．证 明： (2 )从编号为
的 100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 P ．证明： .
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3 . 若实数
满足
，则称
为函数
的一个不动点.已知
（
为常数）有互异的两个极值点
.问：是否存在实数组（
），使得均为不动点？并证明你的结论.
满足，则称为函数的一个不动点.已知（为常数）有互异的两个极值点.问：是否存在实数组（），使得均为不动点？并证明你的结论.
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4 . 已知
，函数
.
（1）经过原点分别作曲线
、
的切线，若两切线的斜率互为倒数，证明：
；
（2）设
，当时，
恒成立，试求实数
的取值范围.
，函数.（1）经过原点分别作曲线
、的切线，若两切线的斜率互为倒数，证明：；（2）设
，当时，恒成立，试求实数的取值范围.
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5 . 已知函数
.
（1）当
时，求函数的所有零点；
（2）若有两个极值点
、
，证明：
.
.（1）当
时，求函数的所有零点；（2）若
有两个极值点、，证明：.
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