解题方法
1 . 对集合
，定义其特征函数
，考虑集合
和正实数
，定义
为
和式函数.设
，则为闭区间列；如果集合对任意
，有
，则称
是无交集合列，设集合
.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，
是定义在
上的函数.已知存在唯一的正整数
，各项不同的非零实数
，和无交集合列
使得
，并且
，称
为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设
，证明：
；
（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设
为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.（i）设
，证明：；（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
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2 . 对实数
，不超过
的最小值的最大整数为__________ ．
，不超过的最小值的最大整数为
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3 . 已知集合
，A是M的子集，当
时，
，则集合A元素个数的最大值为_______ ．
，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为
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2021-09-16更新
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861次组卷
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3卷引用：全国高中数学联赛模拟试题（十五）
4 . 在复平面上，任取方程
的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________ .
的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为
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5 . 设数列
（
）的各项均为正整数，且
.若对任意
，存在正整数
使得
，则称数列
具有性质
.
（1）判断数列
与数列
是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且
，
，
，求的最小值；
（3）若集合
，且
（任意
，
）.求证：存在
，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.（1）判断数列
与数列是否具有性质；（只需写出结论）（2）若数列
具有性质，且，，，求的最小值；（3）若集合
，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
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2020-05-11更新
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1306次组卷
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8卷引用：2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题
2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（四）数学试题北京师范大学第二附属中学2022届高三三模数学试题（已下线）北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21北京市2023届高三数学模拟试题北京卷专题18数列（解答题）北京市顺义区第一中学2023届高三高考考前适应性检测数学试题（已下线）数列的综合应用
6 . 设数组
，
，
，数
称为数组
的元素．对于数组，规定：
①数组中所有元素的和为
；
②变换
，将数组变换成数组
，其中
表示不超过
的最大整数；
③若数组
，则当且仅当
时，
．
如果对数组中任意
个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质
．
（Ⅰ）已知数组
，
，计算
，
，并写出数组
是否具有性质；
（Ⅱ）已知数组具有性质，证明：
也具有性质；
（Ⅲ）证明：数组具有性质的充要条件是
．
，，，数称为数组的元素．对于数组，规定：①数组
中所有元素的和为；②变换
，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；③若数组
，则当且仅当时，．如果对数组
中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．（Ⅰ）已知数组
，，计算，，并写出数组是否具有性质；（Ⅱ）已知数组
具有性质，证明：也具有性质；（Ⅲ）证明：数组
具有性质的充要条件是．
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7 . 考查
所有排列，将每种排列视为一个元有序实数组
，设
且，设
为
的最大项，其中
.记数组
为
.例如，
时，
；
时，
.若数组中的不同元素个数为2.
（1）若
，求所有元有序实数组的个数；
（2）求所有元有序实数组的个数.
所有排列，将每种排列视为一个元有序实数组，设且，设为的最大项，其中.记数组为.例如，时，；时，.若数组中的不同元素个数为2.（1）若
，求所有元有序实数组的个数；（2）求所有
元有序实数组的个数.
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名校
8 . 有限个元素组成的集合为
，，集合中的元素个数记为
，定义
，集合
的个数记为
，当
，称集合具有性质
.
（1）设集合
具有性质，判断集合
中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2） 设正数列
的前项和为
，满足
，其中
，数列中的前
项：
组成的集合
记作
，将集合
中的所有元素
从小到大排序，即
满足
，求
；
（3） 已知集合
，其中数列
是等比数列，
，且公比是有理数，判断集合
是否具有性质，说明理由.
，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.（1）设集合
具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2） 设正数列
的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；（3） 已知集合
，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.
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2020-01-13更新
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754次组卷
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3卷引用：上海市奉贤区2019-2020学年高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题
