解题方法
1 . 任意一个复数
的代数形式都可写成三角形式，即
，其中
为虚数单位，
，
，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则
，
，且
.若令
，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题：
(1)试将
写成三角形式；
(2)已知
，
，
，求
的值；
(3)设
，
，
，当
时，求
的最大值和最小值.
的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：(1)试将
写成三角形式；(2)已知
，，，求的值；(3)设
，，，当时，求的最大值和最小值.
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解题方法
2 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如
的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成
的形式，即
，其中
为复数的模，
叫做复数的辐角，我们规定
范围内的辐角的值为辐角的主值，记作
.复数
叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若
，则
.其几何意义是把向量
绕点
按逆时针方向旋转角
（如果
，就要把绕点按顺时针方向旋转角
），再把它的模变为原来的
倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将
写成三角形式；
(2)设复数
，且
.若复数
在复平面上对应的点分别为
，且为复平面的坐标原点.向量
逆时针旋转
后与向量
重合，求实数，
的值；
(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点
为该圆上一动点（纵坐标大于0），点
，以
为边作等边
，且
在
上方.求线段
长度的最大值.
材料：形如
的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将
写成三角形式；(2)设复数
，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；(3)已知单位圆以坐标原点
为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.
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名校
3 . 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即
，其中i为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将
写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：
；
(3)记
，由棣莫弗定理得
，从而得
，复数
，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若
为64在复数域内的6次方根.求
取值构成的集合，其中
，
.
，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将
写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：
；(3)记
，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，.
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4 . 我们知道复数有三角形式，
，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若
，
，则
.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把
绕点按顺时针方向旋转角
），再把它的模变为原来的倍.
已知圆半径为1，圆的内接正方形
的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为
，
点所对应的复数为
，
点所对应的复数为
，
点所对应的复数为
.
，求出，；
(2)如图，若
，以为边作等边，且在上方.
（ⅰ）求线段长度的最小值；
（ⅱ）若
（
，
），求
的取值范围.
，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.已知圆
半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.
，求出，；(2)如图，若
，以为边作等边，且在上方.（ⅰ）求线段
长度的最小值；（ⅱ）若
（，），求的取值范围.
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2024-05-04更新
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754次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）5.3复数的三角形式-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）贵州省毕节市赫章县乌蒙山学校教育集团2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
5 . 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的
阶泰勒展开式为：
其中
，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式
，特别的欧拉恒等式
被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理
的应用.
(1)请写出复数
的三角形式，并利用泰勒展开式估算出
的3阶近似值（精确到0.001）；
(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算
与
；
(3)记，由棣莫弗定理得
，从而得
，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若
为64在复数域内的6次方根.求
取值构成的集合，其中
.
阶泰勒展开式为：其中
，读作的阶乘.1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式
，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.(1)请写出复数
的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算
与；(3)记
，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.
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6 . 欧拉公式“
”被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角表示与指数表示：
，其中
，是以x非负半轴为始边，复数z对应的向量
所在射线为终边的角，比如
.复数指数形式的引入方便了复数的开方运算，比如
，则
的结果可以是（ ）
”被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角表示与指数表示：，其中，是以x非负半轴为始边，复数z对应的向量所在射线为终边的角，比如.复数指数形式的引入方便了复数的开方运算，比如，则的结果可以是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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7 . 给定实数、、
．已知复数、、满足：
求
的值．
、、．已知复数、、满足：求的值．
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