1 . 如图,点,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数都可以表示成的形式,即其中为复数的模,叫做复数的辐角(以非负半轴为始边,所在射线为终边的角),我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作叫做复数的三角形式.复数三角形式的乘法公式:.棣莫佛提出了公式:,其中.(1)已知,求的三角形式;
(2)已知为定值,,将复数化为三角形式;
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为,求复数所对应不同点的个数.
(2)已知为定值,,将复数化为三角形式;
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为,求复数所对应不同点的个数.
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2 . 已知1,是的2019个根,求的值.
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23-24高一·上海·课堂例题
3 . 把下列复数用三角形式表示(用辐角主值):
(1);
(2);
(3);
(4).
(1);
(2);
(3);
(4).
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解题方法
4 . 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式,即,其中为虚数单位,,,,.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立,指的是设两个复数用三角函数形式表示为:,,则,,且.若令,则能导出复数乘方公式:.请用以上知识解决以下问题:
(1)试将写成三角形式;
(2)已知,,,求的值;
(3)设,,,当时,求的最大值和最小值.
(1)试将写成三角形式;
(2)已知,,,求的值;
(3)设,,,当时,求的最大值和最小值.
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5 . 复数的辐角主值唯一吗?
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6 . 设有两个用三角形式表示的复数与,其中,,则______;______.质疑:三角形式下复数的乘法和除法的几何意义是什么?
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7 . 计算,并用复数的代数形式表示计算结果:
(1);
(2).
(1);
(2).
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解题方法
8 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.
材料:形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若,则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍.
请根据所学知识,回答下列问题:
(1)试将写成三角形式;
(2)设复数,且.若复数在复平面上对应的点分别为,且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合,求实数,的值;
(3)已知单位圆以坐标原点为圆心,点为该圆上一动点(纵坐标大于0),点,以为边作等边,且在上方.求线段长度的最大值.
材料:形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若,则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍.
请根据所学知识,回答下列问题:
(1)试将写成三角形式;
(2)设复数,且.若复数在复平面上对应的点分别为,且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合,求实数,的值;
(3)已知单位圆以坐标原点为圆心,点为该圆上一动点(纵坐标大于0),点,以为边作等边,且在上方.求线段长度的最大值.
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名校
9 . 已知:①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模,是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角,叫做复数的辐角,叫做复数的三角形式.②方程(为正整数)有个不同的复数根;
(1)求证:;
(2)设,求;
(3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合.
(1)求证:;
(2)设,求;
(3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合.
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10 . 为关于的最高次项系数与常数项均为1的复系数多项式,求证:
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