1 . 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
(1)求和的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，求证：．

2 . 设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，求数列的前项和．

3 . 设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．

4 . 已知（常数），数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：．

5 . 已知各项均为正数的数列满足，且．
(1)若，求证是等比数列；
(2)求的通项公式．

6 . 已知数列，，，数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求的表达式；
(3)求证：.

7 . 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．

8 . 已知正项数列满足，数列的前项和为，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)证明：.

9 . 已知数列的前项和为，且为等差数列．
(1)证明：为等差数列；
(2)若，数列满足，且，求数列的前项和．

10 . 已知函数定义在区间内，，且当时，恒有，数列满足，，在数列中，．
(1)求证：为奇函数；
(2)求的表达式；
(3)是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．