3 . 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围．

4 . 在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．

5 . 已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________．

6 . 已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求的大小；
(3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.

7 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．
   
(1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

9 . 已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．