1 . 函数图象上不同两点，，，处的切线的斜率分别是，，规定叫曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：
（1）函数图象上两点、的横坐标分别为1，2，则；
（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
（3）设点、是抛物线，上不同的两点，则；
（4）设曲线上不同两点，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是；
以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）

2 . 给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

3 . 平面直角坐标系中，，，若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，有下列曲线①；②；③；④；⑤，
其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）

4 . 如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.

（1）证明：的左焦点是“型点”；
（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：内的点都不是“型点”.

5 . 已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（       ）．

A．曲线上不存在”完美点”

B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于

C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于

D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于

6 . 椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.
   
(1)若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
(2)若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.

7 . 曲线C是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点；②曲线C关于点对称；③若点P在曲线C上，点分别在直线上，则不小于；④设为曲线C上任意一点，则点关于直线，点及直线对称的点分别为，则四边形的面积为定值.其中，所有正确结论的序号是_____________.

8 . 称离心率为的双曲线为黄金双曲线.如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，B₁(0,b)，B₂(0,-b)且∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确命题的序号为____________