名校
1 . 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做圆锥曲线：当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线.现有方程
表示的圆锥曲线为（ ）
的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（ ）| A．椭圆 | B．双曲线 | C．抛物线 | D．以上都不对 |
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2024-01-13更新
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595次组卷
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2卷引用：重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高二上学期联考数学试卷
名校
2 . 对于给定集合
，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设
为实常数且
，集合
，证明：集合
为“封闭集合”的充要条件是：存在整数
，使得
．
，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．
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3 . 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角
，
，
，
，二面角
的大小为
，则
．
，平面
平面ABCD，
，
，求
的余弦值；
(2)当
、
时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱
中侧面
，
，
的面积分别为
，
，
，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为
，
，
，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
，，，，二面角的大小为，则．
，平面平面ABCD，，，求的余弦值；(2)当
、时，证明以上三面角余弦定理；(3)如图3，斜三棱柱
中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
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2022-12-25更新
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523次组卷
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4卷引用：上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题
上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题17 三正弦定理、三余弦定理 微点2 三正弦定理、三余弦定理综合训练（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点13 三正弦定理与三余弦定理综合训练【培优版】
名校
解题方法
4 . 在解决问题：“证明数集
没有最小数”时可用反证法证明：
假设
是
中的最小数，则存在
，
可得：
，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，
所以数集没有最小数.
那么对于问题：“证明数集
，并且
没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设
是
中的最大数，则存在
，且
，其中
的一个值可以是__________ （用
、
表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.
没有最小数”时可用反证法证明：假设
是中的最小数，则存在，可得：
，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，所以数集
没有最小数.那么对于问题：“证明数集
，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是、表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.
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2022-10-26更新
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179次组卷
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2卷引用：上海市进才中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题
名校
5 . 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：
是半圆O的直径，点D在半圆周上，
于点C，设
，
，直接通过比较线段
与线段
的长度可以完成的“无字证明”为（ ）
是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A． | B． |
C． （ ， ） | D． （，） |
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2022-04-19更新
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395次组卷
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4卷引用：江苏省连云港市灌云县第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学模拟试题
6 . 南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为
，那么三角形的面积
，后人称之为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式
实质是相同的.若在
中，
，则的内切圆半径
的值为（ ）
，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的.若在中，，则的内切圆半径的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-05-10更新
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581次组卷
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5卷引用：江苏省淮安市涟水县第一中学2021-2022学年高一下学期第二次阶段检测数学试题
江苏省淮安市涟水县第一中学2021-2022学年高一下学期第二次阶段检测数学试题江苏省徐州市睢宁县2021-2022学年高一下学期(线上)期中数学试题（已下线）专题17 秦九韶（已下线）专题1 三斜求积 巧求面积 练（已下线）模块一专题5《 解三角形》单元检测篇A基础卷（苏教版）
7 . 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
| A．37680千米 | B．39250千米 | C．41200千米 | D．42192千米 |
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2022-03-11更新
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1120次组卷
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5卷引用：福建省厦门市2022届高三毕业班3月第二次质量检测数学试题
福建省厦门市2022届高三毕业班3月第二次质量检测数学试题云南省昆明市第一中学2024届高三新课标第四次一轮复习检测数学试题（已下线）三轮冲刺卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用）重庆市缙云教育联盟2022届高三下学期第三次诊断性检测数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
8 . 祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为
，高皆为
的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面
上，用平行于平面的平面于距平面任意高
处截得到
及
两截面，可以证明
总成立据此，短轴长为
，长轴为
的椭球体的体积是（ ）
.
，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高处截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（ ）.A． | B． | C． | D． |
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2021-05-06更新
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456次组卷
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4卷引用：河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2021届高三适应性考试数学试题
河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2021届高三适应性考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三二模数学（文科）试题（已下线）考前题型猜猜猜（终极预测）-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）高考新题型-圆锥曲线
，
，
的中点.
平面
；
平面
