1 . 一般地,个有序实数,,,组成的数组,称为维向量,记为.类似二维向量,对于维向量,也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度(模)、两点间的距离等,如,则;若存在不全为零的个实数,,,使得,则向量组,,,是线性相关的向量组,否则,说向量组,,,是线性无关的.
(1)判断向量组,,是否线性相关?
(2)若,,,当且时,证明:.
(1)判断向量组,,是否线性相关?
(2)若,,,当且时,证明:.
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名校
2 . 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲乙各猜一个成语,已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为;乙如果第k轮猜对,则他第轮也猜对的概率为,如果第k轮猜错,则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中,甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为,,,,则称为该条信息的信息熵(单位为比特),用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H;
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏,求证:.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为,,,,则称为该条信息的信息熵(单位为比特),用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H;
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏,求证:.
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2024-04-10更新
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927次组卷
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3卷引用:2024届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试数学试题
名校
解题方法
3 . 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤,其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种,已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为,若前一天选择冰糖雪梨汤,则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为,而前一天选择苹果百合汤,后一天继续选择苹果百合汤的概率为,如此往复.
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为,证明:为等比数列.
(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为,证明:为等比数列.
(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
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2024-02-27更新
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1318次组卷
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5卷引用:贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考(开学考)数学试题
贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考(开学考)数学试题湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题广西壮族自治区桂林市2023-2024学年高二下学期入学联合检测卷数学试题湖南省邵阳市新邵县第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)专题3.5马尔科夫链模型(强化训练)-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避(人教A版2019)
解题方法
4 . 如图一,将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后,折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为(侧面三角形的高),.
(1)求证:;
(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为,请将表示为的函数,并求的范围.
(1)求证:;
(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为,请将表示为的函数,并求的范围.
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名校
解题方法
5 . 已知,且.
(1)解关于的不等式:;
(2)求证:对任意恒有.
(1)解关于的不等式:;
(2)求证:对任意恒有.
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2023-03-30更新
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336次组卷
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3卷引用:贵州省2023届高三考前备考指导解压卷数学(理)试题
名校
解题方法
6 . 阅读材料:三角形的重心、垂心、内心和外心是与三角形有关的四个特殊点,它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质.
(一)三角形的“四心”
1.三角形的重心:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
2.三角形的垂心:三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.
4三角形的外心:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
(二)三角形“四心”的向量表示
在中,角所对的边分别为.
1.三角形的重心:是的重心.
2.三角形的垂心:是的垂心.
3.三角形的内心:是的内心.
4.三角形的外心:是的外心.
研究三角形“四心”的向量表示,我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题,充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题,这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用,也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题:
(1)在中,若,求的重心的坐标;
(2)如图所示,在非等腰的锐角中,已知点是的垂心,点是的外心.若是的中点,求证:.
(一)三角形的“四心”
1.三角形的重心:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
2.三角形的垂心:三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.
4三角形的外心:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
(二)三角形“四心”的向量表示
在中,角所对的边分别为.
1.三角形的重心:是的重心.
2.三角形的垂心:是的垂心.
3.三角形的内心:是的内心.
4.三角形的外心:是的外心.
研究三角形“四心”的向量表示,我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题,充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题,这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用,也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题:
(1)在中,若,求的重心的坐标;
(2)如图所示,在非等腰的锐角中,已知点是的垂心,点是的外心.若是的中点,求证:.
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2022-07-16更新
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1328次组卷
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2卷引用:贵州省贵阳市2021-2022学年高一下学期期末监测考试数学试题
7 . 已知坐标原点为O,直角三角形AOB的顶点A在椭圆上运动,顶点B在直线上运动.
(1)求证:坐标原点O到斜边AB所在直线的距离是常数.
(2)求斜边AB的最小值.
(1)求证:坐标原点O到斜边AB所在直线的距离是常数.
(2)求斜边AB的最小值.
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2022-05-13更新
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231次组卷
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2卷引用:贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学(文)试题
8 . 阅读材料:我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性,但是这些还不能够准确地描述出函数的图象,例如函数和,虽然它们都是增函数,图象在上都是上升的,但是却有着显著的不同.如图1所示,函数的图象是向下凸的,在上任意取两个点,函数的图象总是在线段的下方,此时函数称为下凸函数;函数的图象是向上凸的,在上任意取两个点,函数的图象总是在线段的上方,则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.
定义1:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸(下凸)函数与函数的定义域密切相关的.例如,函数在为上凸函数,在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复,属于整体性质;而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向,属于局部性质.关于函数性质的探索,对我们的启示是:在认识事物和研究问题时,只有从多角度、全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题:
(1)请尝试列举一个下凸函数:___________;
(2)求证:二次函数是上凸函数;
(3)已知函数,若对任意,恒有,尝试数形结合探究实数a的取值范围.
定义1:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸(下凸)函数与函数的定义域密切相关的.例如,函数在为上凸函数,在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复,属于整体性质;而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向,属于局部性质.关于函数性质的探索,对我们的启示是:在认识事物和研究问题时,只有从多角度、全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题:
(1)请尝试列举一个下凸函数:___________;
(2)求证:二次函数是上凸函数;
(3)已知函数,若对任意,恒有,尝试数形结合探究实数a的取值范围.
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2022-03-01更新
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1177次组卷
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4卷引用:贵州省贵阳市普通中学2021-2022学年高一上学期期末监测考试数学试题
贵州省贵阳市普通中学2021-2022学年高一上学期期末监测考试数学试题聚焦核心素养-一元二次函数、方程和不等式第三章 函数的概念与性质(A卷·基础提升练)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第一册)(已下线)第一章 导数与函数的图像 专题二 函数的凹凸性与渐近线 微点2 函数的凹凸性与渐近线综合训练
名校
解题方法
9 . 如图甲为直角三角形,,,,且为斜边上的高,将三角形沿折起,得到图乙的四面体,,分别在与上,且满足,,分别为与的中点.
(1)证明:直线与相交,且交点在直线上;
(2)当四面体的体积最大时,求平面与平面所成角的余弦值.
(1)证明:直线与相交,且交点在直线上;
(2)当四面体的体积最大时,求平面与平面所成角的余弦值.
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