1 . 对于定义在
上的函数
，如果存在两条平行直线
与
，使得对于任意
，都有
恒成立，那么称函数是带状函数，若
，
之间的最小距离
存在，则称为带宽.
（1）判断函数
是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数
（
）是带状函数；
（3）求证：函数
（
）为带状函数的充要条件是
.
上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.（1）判断函数
是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；（2）求证：函数
（）是带状函数；（3）求证：函数
（）为带状函数的充要条件是.
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解题方法
2 . 已知数集
具有性质
：对任意的
与
两数中至少有一个属于
.
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：
且对任意
都是
的因数；
(3)当
时，若
，求集合.
具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)证明：
且对任意都是的因数；(3)当
时，若，求集合.
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3 . 若实数
、
、
满足
，则称比接近，
(1)
比
接近
，求的取值范围；
(2)判断：“比接近”是“
”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明.
、、满足，则称比接近，(1)
比接近，求的取值范围；(2)判断：“
比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明.
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解题方法
4 . 已知
定义域为R的函数，若对任意
R，S，均有
，则称是S关联.
(1)判断和证明函数
是否是
关联？是否是
关联？
(2)若是{3}关联，当
时，
，解不等式：
；
(3)证明：“是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是
关联”.
定义域为R的函数，若对任意R，S，均有，则称是S关联.(1)判断和证明函数
是否是关联？是否是关联？(2)若
是{3}关联，当时，，解不等式：；(3)证明：“
是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
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5 . （1）判断并证明集合
和集合
之间的关系；
（2）判断并证明
是
的什么条件.（“充分非必要､必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择）
和集合之间的关系；（2）判断并证明
是的什么条件.（“充分非必要､必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择）
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6 . 已知集合
，设是
的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素
，若
都不能整除
，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集
与
是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有
；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.(1)判断数集
与是否是集合的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若
是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；(3)求集合
的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
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解题方法
7 . 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①
；②若
，则
，且
时，
．
(1)分别判断集合
，有理数集
是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若，则
；
(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有
．
；②若，则，且时，．(1)分别判断集合
，有理数集是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合
是“好集”，求证：若，则；(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若
，则必有．
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8 . 对于一个数集
，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②
；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集
为有理数域，实数集
为实数域.
(1)证明整数集
不是数域；
(2)判断集合
是否为数域，并说明理由；
(3)若
为任意两个数域且
中至少存在两个非零元素，判断
是否为数域，并说明理由.
，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域.(1)证明整数集
不是数域；(2)判断集合
是否为数域，并说明理由；(3)若
为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由.
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解题方法
9 . 已知函数
．若存在
使得
是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当
时，
．）
(1)判断以下函数是否是“缓降函数”①
②
（无需写出理由）；
(2)求证：
是“缓降函数”；
(3)已知
，求证：
是“缓降函数”的充要条件是
．
．若存在使得是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．）(1)判断以下函数是否是“缓降函数”①
②（无需写出理由）；(2)求证：
是“缓降函数”；(3)已知
，求证：是“缓降函数”的充要条件是．
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10 . 已知实数
，满足
.
（1）求证：中至少有一个实数不小于1；
（2）若均为非零整数，求
的最大值；
（3）设这五个实数两两不等，集合
，若
且
，记
是
中所有元素之和，对所有的，求的平均值.
，满足.（1）求证：
中至少有一个实数不小于1；（2）若
均为非零整数，求的最大值；（3）设
这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值.
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