1 . 设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

2 . 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.

3 . 下列语句是命题的是（       ）

A．二次函数的图象太美啦！	B．这是一棵大树
C．求证：	D．3比5大

4 . 已知无穷数列满足.
(1)若对于任意，有.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件.
(2)若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项.

5 . 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
(2)若具有性质,证明:;
(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．

6 . 已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；                       ②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．

7 . 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.
（1）若，，，求的值；
（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.

8 . 给出下列命题，其中真命题为（       ）．
①随机变量，若，则；
②已知事件与独立，当时，若，则；
③方程“表示双曲线”是“方程表示椭圆”的充要条件；
④用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；

A．①②③

B．①④

C．①②

D．①②③④