1 . 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为________；

3 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如则点集所表示的平面区域的面积是___________.

4 . 由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是________.
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素；

5 . 由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.