计数原理与概率统计练习题及答案-2023年高中数学-较难-组卷网

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求抽象函数的解析式由导数求函数的最值（不含参）错位相减法求和求离散型随机变量的均值

名校

1 . 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用

、

计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1

的信息，而掷

次就为

位.更一般地，你需要用

位来表示一个可以取

个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量

所有取值为

，定义

的信息熵

，（

，

）.
(1)若

，试探索

的信息熵关于

的解析式，并求其最大值；
(2)若

，

（

），求此时的信息熵.

2024-01-16更新 | 1785次组卷 | 7卷引用：广东省中山市中山纪念中学2024届高三上学期第三次模拟测试数学试题

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22-23高三下·河南信阳·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

计算条件概率独立事件的乘法公式超几何分布的均值超几何分布的分布列

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列利用条件概率公式求解条件概率

2 . 2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为

.
①求生产该芯片I的前三道工序的次品率

；
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率；
(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满意的占

.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望.

2023-09-19更新 | 849次组卷 | 4卷引用：河南省信阳高级中学2023届高三下学期3月测试（二）理科数学试题

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22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习

多选题 | 较难(0.4) |

累加法求数列通项由递推关系证明等比数列分步乘法计数原理及简单应用计算古典概型问题的概率

名校

解题方法

累加法求数列通项定义法判断等比数列

3 . 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有

封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为

.例如两封信都投错有

种方法，三封信都投错有

种方法，通过推理可得：

.高等数学给出了泰勒公式：

，则下列说法正确的是（）

A．	B．为等比数列
C．	D．信封均被投错的概率大于

2023-09-07更新 | 1169次组卷 | 7卷引用：重庆市第一中学校2023届高三下学期2月月考数学试题

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22-23高二下·安徽合肥·期末

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）由递推关系证明等比数列二项展开式的应用

名校

解题方法

“在”与“过”，求曲线y=f(x)的切线方程

4 . 过点

作曲线

的切线，切点为

，设

在x轴上的投影是点

；又过点

作曲线C的切线，切点为

，设

在x轴上的投影是点

，…依次下去，得到一系列点

，点

横坐标为

.
(1)求

，

的值；
(2)求证：

．

2023-07-22更新 | 530次组卷 | 3卷引用：安徽省合肥第一中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题

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22-23高二下·重庆·期末

多选题 | 较难(0.4) |

由递推数列研究数列的有关性质杨辉三角

名校

5 . 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（）

A．第

行的第

个位置的数是

B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列

，则数列

是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列

C．70在杨辉三角中共出现了3次

D．210在杨辉三角中共出现了6次

2023-07-03更新 | 749次组卷 | 3卷引用：重庆市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

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2023·湖北·二模

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用组合数公式证明计算古典概型问题的概率求离散型随机变量的均值利用全概率公式求概率

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

6 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为

步，求

的分布列和期望；
(2)记

为设定机器人一共行走

步时游戏胜利的概率，求

，并判断当

为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将

个0和

个1排成一排，若对任意的

，在前

个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有

种，其中，

的结果被称为卡特兰数.若记

为设定机器人行走

步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的

，有

2023-05-02更新 | 2877次组卷 | 9卷引用：湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟(二)数学试题

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2023·全国·模拟预测

多选题 | 较难(0.4) |

用导数判断或证明已知函数的单调性求等比数列前n项和错位相减法求和离散型随机变量与连续型随机变量的区分

名校

解题方法

错位相减法

7 . 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且

（

，2，…n）

，定义X的信息熵

，则下列说法正确的有（）

A．n=1时

B．n=2时，若

，则

与

正相关

C．若

，

D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且

（j=1,2,…,m）则

2023-04-30更新 | 1474次组卷 | 6卷引用：2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题

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2023·全国·模拟预测

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

实际问题中的组合计数问题组合计数问题

8 . 卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为

(1)证明

是卡特兰数；
(2)求

的通项公式．

2023-04-30更新 | 1038次组卷 | 2卷引用：2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题

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22-23高二下·广东深圳·期中

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

由递推关系证明等比数列递推法求概率

名校

解题方法

构造法求数列通项

9 . 杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过8次传递后，花又在甲手中的概率为________．