2 . 数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.

3 . “数字华容道”是一款流行的益智游戏．n×n的正方形盘中有个小滑块，对应数字1至．初始状态下，所有滑块打乱位置，并保证第n行第n列为空格．游戏规则如下：玩家经过移动小方块，将“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”（第一行第一列），如图情况下最少3步即可（“初始”至“移动3”）．假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动．

(1)如图，图1，图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为‘1’的初始位置，将其移动到‘目标位置’（第一行第一列）所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的空格里填上相应数字；
(2)对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超过7，则获得1积分，求甲同学三轮之后不低于2分的概率；
(3)对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列初始位置中随机选取一个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

5 . 定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．

6 . 已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列.
(1)若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
(2)若，求的值；
(3)若，求数列的前100项和.

7 . 对于数列A：，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列.例如，数列A：经交换M，N两段位置，变换为数列：.设是有穷数列，令.
(1)如果数列为3，2，1，且为1，2，3.写出数列；（写出一个即可）
(2)如果数列为9，8，7，6，5，4，3，2，1，为5，4，9，8，7，6，3，2，1，为5，6，3，4，9，8，7，2，1，为1，2，3，4，5，6，7，8，9.写出数列；（写出一组即可）
(3)如果数列为等差数列：2015，2014，…，1，为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值.

8 . 有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.
(1)当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
(2)若为等差数列，，且，求的通项公式.
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.