1 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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2024-04-23更新
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280次组卷
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2卷引用：江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试题
23-24高二上·北京·期中
名校
解题方法
2 . 记所有非零向量构成的集合为
，对于
，定义
，
(1)若
，求出集合
中的三个元素；
(2)若
，其中
，求证：一定存在实数
，且
，使得
.
，对于，定义，(1)若
，求出集合中的三个元素；(2)若
，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
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2023-11-07更新
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472次组卷
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11卷引用：第9章 平面向量 单元综合检测（难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）
（已下线）第9章 平面向量 单元综合检测（难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）模块一 专题1《平面向量的概念与运算》单元检测篇B提升卷(苏教版高一）（已下线）模块二 专题1 平面向量相关概念的易混易错问题（苏教版）（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题1 平面向量运算（解答题）（苏教版）北京市清华大学附属中学奥森分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）模块一 专题1 《平面向量的概念与运算》（人教A2019版）B【练】（已下线）模块二 专题1 平面向量相关概念的易混易错问题（已下线）模块三 专题2 专题1 平面向量运算（已下线）模块二 专题3 平面向量相关概念的易混易错问题（北师大版）（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题3 平面向量各类运算（解答题）（已下线）模块一 专题3《平面向量的概念与运算》单元检测篇B提升卷（北师大版高一期中）
名校
解题方法
3 . 对非空整数集合M及
，定义
，对于非空整数集合A，B，定义
.
(1)设
，请直接写出集合
；
(2)设
，
，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且
，求
所有可能取值．
，定义，对于非空整数集合A，B，定义.(1)设
，请直接写出集合；(2)设
，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且，求所有可能取值．
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2023-11-05更新
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1294次组卷
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4卷引用：江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题
江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）讲
名校
4 . 设集合
，称坐标
在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点.
(1)证明：若
则
.
(2)A中的元素
所对应的格点记作
（
），现将A中所有元素进行排序，使得
，在平面直角坐标系中，求以
为顶点的三角形面积.
(3)已知集合
，若
至少有2个元素，最多有5个元素，求
的取值范围.
，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点.(1)证明：若
则.(2)A中的元素
所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积.(3)已知集合
，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围.
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2023-10-07更新
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184次组卷
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2卷引用：江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
解题方法
5 . 已知集合
，
，
，问是否存在实数
，
同时满足
是
的真子集，
？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.
，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.
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6 . 已知函数
是定义在
上的偶函数．
(1)求实数的值；
(2)记
，
①当
时，求
的值域（用
表示）；
②若存在r，s，
，使得
，求实数的范围．
是定义在上的偶函数．(1)求实数
的值；(2)记
，①当
时，求的值域（用表示）；②若存在r，s，
，使得，求实数的范围．
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2023-06-15更新
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424次组卷
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3卷引用：江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题
名校
7 . 已知函数
.
(1)当
时，求关于
的不等式
的解集；
(2)若
，
的值域为，，
的值域为，若
，求的取值范围．
.(1)当
时，求关于的不等式的解集；(2)若
，的值域为，，的值域为，若，求的取值范围．
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2023-08-09更新
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1181次组卷
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3卷引用：江苏省徐州市铜山区2022-2023学年高一上学期期中数学试题
22-23高二上·上海浦东新·期末
名校
8 . 已知集合
，规定：若集合
，则称
为集合的一个分拆，当且仅当：
，
，…，
时，与
为同一分拆，所有不同的分拆种数记为
.例如：当
，
时，集合
的所有分拆为：
，
，
，即
.
(1)求
；
(2)试用、
表示；
(3)设
，规定
，证明：当
时，
与同为奇数或者同为偶数.
，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即.(1)求
；(2)试用
、表示；(3)设
，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数.
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2023-02-07更新
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1073次组卷
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8卷引用：期中考试押题卷（考试范围：第6-7章）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）期中考试押题卷（考试范围：第6-7章）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）上海市实验学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）6.5二项式定理（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第6章 计数原理（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第6章 计数原理（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）江西省吉安市峡江中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（九省联考题型）（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）单元测试B卷——第六章 计数原理
22-23高一上·上海杨浦·开学考试
名校
解题方法
9 . 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①
；②若
，则
，且
时，
．
(1)分别判断集合
，有理数集
是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若，则
；
(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有
．
；②若，则，且时，．(1)分别判断集合
，有理数集是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合
是“好集”，求证：若，则；(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若
，则必有．
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10 . 已知集合
，
，
，且集合D满足
，
．
(1)求实数t的值：
(2)对集合
，其中
，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：
，
，其中
是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的
，总有
，则称集合A具有性质P．
①请检验集合
与
是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
，，，且集合D满足，．(1)求实数t的值：
(2)对集合
，其中，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：，，其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的，总有，则称集合A具有性质P．①请检验集合
与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
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